Комплексные переменные

При изучении алгебры и начал анализа в средней школе мы сталкивались с рядом запретов. Эти запреты были естественными для функций, имеющих значения в множестве вещественных чисел. Так, нельзя было извлекать квадратный корень из отрицательного числа, нельзя было рассматривать логарифм отрицательного числа, нельзя было рассматривать арксинус числа, большего по модулю единицы. Действительно, в множестве вещественных чисел нет таких, которые удовлетворяли бы, например, уравнениям: , .

Возникает вопрос: если нет вещественных чисел, удовлетворяющих предыдущим уравнениям, то, может быть, следует расширить понятие числа, выйдя с вещественной оси на плоскость?

Революцией в этой области явилось открытие формулы, называемой формулой Эйлера:

,

где – то мнимое число, квадрат которого равен .

Мы сами можем убедиться в правильности формулы Эйлера, если используем известные разложения функций в ряды Тейлора по степеням :

Итак, комплексные числа – это числа, для геометрической интерпретации которых недостаточно одной прямой, а нужна вторая прямая, где можно было бы размещать вторую координату – коэффициент при мнимой единице. Поскольку элементы, задающиеся парой вещественных координат, проще всего представлять точками декартовой плоскости, наилучшей интерпретацией множества комплексных чисел является плоскость.

Представим себе декартову плоскость, в которой роль оси OX исполняет вещественная прямая, а роль оси OY – «мнимая ось», вдоль которой откладывают коэффициент при чисто мнимой единице i. Предположим, мы решаем уравнение с отрицательным дискриминантом. Применяя формулу для получения корней этого уравнения, мы получим . Обозначая, следуя Эйлеру, , имеем . В комплексной плоскости два этих комплексных числа выглядят так:

Таким образом, комплексное число z представляет собой сумму

z = x + i y,

где компонента x называется вещественной частью z (x = Re z), компонента y называется мнимой частью z (y = Im z). Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них совпадают как действительные, так и мнимые части. Два комплексных числа называются взаимно сопряженными, если у них совпадают действительные части, а мнимые части различаются знаками. На нашем рисунке мы как раз имеем два взаимно сопряженных комплексных числа. Операция комплексного сопряжения означает смену знака у мнимой части и обозначается надчеркиванием. Например, .

Введенная нами форма записи комплексного числа в виде линейной комбинации действительной и мнимой частей называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Точка на плоскости необязательно задается с помощью декартовых координат. Другим возможным способом задания точки M на плоскости является задание расстояния ( r ) от точки M до фиксированной точки O, называемой полюсом, и угла ( ), который вектор OM составляет с фиксированным лучом, исходящим из полюса O и называемым полярной осью. Координаты (r, ) называются полярными координатами. Традиционно при сравнении декартовых (x,y) и полярных (r, ) координат полюс O помещают в начало декартовых координат, а за полярную ось берут положительную часть оси OX.

Легко видеть, что связь между декартовыми и полярными координатами такая: , .

Если комплексное число задавать полярными координатами, то координата называется модулем комплексного числа, а координата называется аргументом комплексного числа. В случае задания комплексного числа с помощью его модуля и аргумента мы получаем тригонометрическую форму записи комплексного числа:

.

Нетрудно заметить, что аргумент комплексного числа по известным значениям его вещественной и мнимой частей определяется неоднозначно – с точностью до слагаемого , где .

Наконец, применяя формулу Эйлера, получим запись комплексного числа в показательной форме:

.

Перевод комплексного числа из алгебраической в показательную форму с помощью пакета программ MAXIMA осуществляется по команде polarform.Например, если ввести команду polarform(3-4*%i)нажать Shift+Enter, мы получим . Обратный перевод из показательной в алгебраическую форму осуществляется по команде ractform.

Множество комплексных чисел обозначается С. Введем правила арифметических действий с комплексными числами.

1. Для определим .

2.Для определим .

3.Для определим = .

4.Для , определим .

Возможно применение пакета MAXIMA при произведении действий с комплексными числами. Например, команда ractform((3+4*%i)/(4-3*i))и нажатиеShift+Enter даст значение i.