Задания для самостоятельного решения.
I уровень
1.1. Вычислите:
1) ; 2) ;
3) .
1.2. Упростите выражение:
1) ;
2) ;
3) .
1.3. Известно, что и . Найдите:
1) ; 2) .
1.4. Докажите, что при и , дробь – неправильная.
1.5. Разложите по формуле бинома Ньютона:
1) ; 2) ; 3) .
II уровень
2.1. Упростите выражение:
1) ;
2) .
2.2. Известно, что , найдите:
1) ; 2) .
2.3. Докажите, что
, при любых .
2.4. Разложите по формуле бинома Ньютона и упростите полученное выражение:
1) ; 2) ; 3) .
2.5. Вычислите:
1) ; 2) ; 3) .
III уровень
3.1. Определить знак выражения при а >1:
.
3.2. Сократите дробь:
1) ; 2)
3.3. Найдите значение выражения , если .
3.4. Вычислите значение выражения
при .
3.5. Докажите, что
при любых х; у.
3.6. Упростите выражение .
3.7. Найдите разность между коэффициентом и биноминальным коэффициентом при для выражения .
Многочлены. Действия над многочленами
Выражение вида
, (3)
где
называется многочленом n-ой степени от одной переменной х, записанным в стандартном виде.
Числа называются коэффициентами данного многочлена, – старшим коэффициентом, – свободным членом.
Если необходимо указать степень многочлена , то пишут .
Если , то называется приведенным многочленом.
Если кроме рассмотреть случай , то многочлен вида называется многочленом нулевой степени, он есть число.
Каждое слагаемое вида многочлена (3) называется одночленом.
Два многочлена, заданные в виде (3), называются равными, если равны все их коэффициенты при соответствующих степенях переменной х.
Для всякого многочлена и многочлена определены следующие операции:
1) Умножение на число :
;
2) Сложениемногочленов:
;
3. Умножениемногочленов производят по следующему правилу: каждый член одного многочлена умножают на каждый член второго многочлена и приводят подобные. и привести подобные.
4. Деление многочленов (при условии, что степень делителя меньше или равна степени делимого) выполняется по правилу «деления углом» (см. далее пример ).
Результат деления записывается в виде:
или
(4)
где – частное (многочлен), – остаток (степень остатка меньше степени делителя).
Многочлен делится нацело на , если или
.
Если , где , то результат деления многочлена на , согласно формуле (4), можно записать в виде равенства
, (5)
где R0 – число.
Коэффициенты многочлена и остаток R0 в Равенстве (5) можно вычислить по схеме Горнера:
(6)
При вычислении коэффициентов (6) используют таблицу:
| an | an-1 | an-2 | . . . | a1 | a0 | |
| x0 | сn-1 | сn-2 | сn-3 | . . . | с0 | R0 |
Верхняя строка заполняется коэффициентами заданного многочлена (3), нижняя – числами, которые вычисляют по формулам (6).
Число , называется корнем многочлена , если .
Число называется корнем кратностиk многочлена , если
и .
Теорема 1. (Безу).
Число х0 является корнем многочлена , тогда и только тогда, когда делится нацело на .
Теорема 2.
Число является остатком от деления многочлена на , тогда и только тогда, когда .
Теорема 3.
Пусть – приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Если он имеет целые корни, то они содержатся среди целых делителей свободного члена.
Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (если это возможно) называется разложением на множители.
Общий вид разложения на множители:
,
где А, a1; …; b1; …; c1; … R (const);
х1; х2; …; хk – корни многочлена .
;
;
квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
Основные методы разложения:
1) вынесения общего множителя за скобки;
2) метод группировки
– непосредственно;
– с предварительными преобразованиями слагаемых;
3) использование формул сокращенного умножения;
4) использование формул разложения квадратного трехчлена на множители
5) выделение полного квадрата и сведение к разности квадратов;
6) введение новой переменной;
7) поиск корней многочлена среди делителей свободного члена, использование теоремы Безу.
Многочлен может зависеть не только от одной переменной, но и от двух ; трех и т.д. Данные многочлены называются многочленами от нескольких переменных. Тогда их одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел и переменных в некоторых степенях. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Старшая степень многочлена нескольких переменных определяется старшей степенью его одночлена.
Многочлен от двух переменных называется симметрическим, если при замене переменных x на у и у на x выражение не меняется.
Над многочленами от нескольких переменных можно выполнять действия, аналогичные действиям над многочленами от одной переменной. Для разложения данных многочленов на множители применяются те же методы, что и для многочленов от одной переменной.
Пример 1.Представить многочлен в стандартном виде, определить его степень:
1) ; 2) .
Решение.
- Раскроем скобки и приведем подобные:
.
Данный многочлен является многочленом 2-й степени относительно х.
2. Умножим многочлен на одночлен
.
Приведем подобные и получаем многочлен
,
который является многочленом -й степени от двух переменных х, у (наибольшее суммарное значение показателей имеем в первом одночлене: ).
Пример 2. Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен . Результат деления записать в виде равенства.
Решение.
Воспользуемся правилом «деления углом»:
Получаем:
– частное (целая часть);
– остаток (многочлен первой степени).
Тогда
.
Пример 3. Проверить, делится ли многочлен нацело на .Если нет, то найти значение остатка (не выполняя деления).
Решение.
У данного многочлена свободный член есть число . Поскольку число 5 не является делителем числа , то – не является корнем многочлена (см. теорему 3). Значит, согласно теореме 1, не разделится нацело на .
Остаток находим по теореме ??????????
.
Пример 4. Разложить многочлен на множители:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) .
Решение.
1. Используем метод вынесения общего множителя за скобки:
.
Поскольку у квадратного трехчлена , то получен ответ.
2. Воспользуемся методом группировки:
Для дальнейшего разложения выделим полный квадрат и сведем к разности квадратов:
.
Поскольку дискриминанты квадратных трехчленов отрицательны, окончательно получаем разложение
.
3. Вначале преобразуем данное выражение, а затем используем метод группировки и формулу разности квадратов
Вычисляем корни полученного квадратного трехчлена
.
Поэтому
4. Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой разности кубов:
.
Получили искомое разложение.
5. Для многочлена запишем целые делители свободного члена: (см. теорему 3).
Подставим данные значения вместо , убеждаемся, что является корнем, т.к. .
Разделим заданный многочлен на :
Получаем .
Для многочлена выполним аналогичные действия.
Проверкой делителей свободного члена находим корень 2.
Делим:
Тогда
Квадратный трехчлен разлагаем на множители, используя формулы корней.
Окончательно получаем: .
6. Для многочлена найдем целый корень среди делителей свободного члена . Это число . Для дальнейшего разложения воспользуемся схемой Горнера:
х3 х2 х1 х0
| х+1 | ||||
| -1 |
х2 х1 х0
Таким образом, . Квадратный трехчлен имеет корни и , а потому окончательно получаем:
.
7. Для разложения многочлена воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть . Тогда имеем . Корни этого многочлена – числа и . Поэтому . Возвращаясь к старой переменной, имеем
.
Пример 5. Найти a и b из заданного равенства и доказать, что a+b=0
.
Решение.
Приведем правую часть заданного равенства к общему знаменателю:
или
.
Поскольку знаменатели дробей равны, приравняем числители и сгруппируем в правой части коэффициенты при х. Многочлен в правой части запишем в стандартном виде.
.
Из определения равенства многочленов получаем систему и решаем ее:
Находим сумму
.
Доказательство завершено.