Формализм и теоретико-множественные основания математики 11 страница

…там, где наука ушла особенно далеко в своем развитии, разум лишь получил от природы то, что им было заложено в природу. На берегах неизвестного мы обнаружили странный отпечаток. Чтобы объяснить его происхождение, мы выдвигали одну за другой остроумнейшие теории. Наконец нам все же удалось восстановить происхождение отпечатка. Увы! Оказалось, что это наш собственный след.

В XX в. предложенное Кантом объяснение эффективности математики было подробно разработано Уайтхедом и поддержано Брауэром в работе 1923 г. Основная идея неокантианского объяснения состоит в том, что математика является не чем-то независимым от явлений, происходящих во внешнем мире, и применимым к ним, а элементом нашего способа восприятия явлений. Физический мир не дан нам объективно. Он является лишь нашей интерпретацией ощущений, конструкцией из них, и математика — основной инструмент, позволяющий упорядочивать ощущения. Из сказанного почти автоматически следует, что математика описывает внешний мир в той мере, в какой он известен человеку. То, что математическая организация ощущений оказывается одинаковой у многих людей, неокантианцы объясняют, ссылаясь на сходство в функционировании человеческого разума или на общность языка и культуры, вынуждающую различных людей принимать одну и ту же математическую схему. В пользу такого объяснения свидетельствует, например, господствующее положение, занимаемое евклидовой геометрией, хотя она не является последним словом в вопросах, связанных со структурой физического пространства. То же можно сказать и о гелиоцентрической системе мира. Своим происхождением она обязана отнюдь не расхождениями между птолемеевой теорией и наблюдениями. Кроме того, если бы теория Птолемея была сохранена и усовершенствована в соответствии с новыми наблюдениями, то, несмотря на несколько большую математическую сложность, она могла бы служить потребностям астрономов и мореплавателей с не меньшим успехом, чем теория Коперника.

Суть изложенных выше взглядов сводится к следующему. Мы пытаемся абстрагировать из сложного переплетения явлений какие-то простые системы, свойства которых допускают математическое описание. Поразительно точным математическим описанием природы мы обязаны силе этой абстракции. Более того, мы видим лишь то, что позволяет нам видеть наша математическая «оптика». Ту же мысль мы находим, в частности, в «Прагматизме» философа Уильяма Джеймса: «Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта».

Один из современных авторов выразил эту мысль более «поэтически»: «Реальность — самая очаровательная из куртизанок, ибо делает то, что вы ожидаете от нее в данный момент, но она отнюдь не скала, на которой может утвердиться ваш дух, ибо соткана из призрачных видений. Реальность не существует вне ваших мечтаний, и зачастую это не более чем блик, отбрасываемый вашими мыслями на лицо — природы».

Однако кантовское объяснение, согласно которому мы видим в природе лишь то, что разрешает нам видеть наш разум, не дает полного ответа на вопрос, почему математика эффективна. Такие достижения науки послекантовского периода, как создание теории электромагнитного поля, вряд ли можно отнести к порождениям чистого разума или способности разума упорядочивать ощущения. Ведь, скажем, радио и телевидение существуют вовсе не потому, что разум организовал какие-то ощущения в соответствии с некоторой «внутренней структурой», позволившей нам заняться разработкой радио и телевидения как следствий врожденных представлений разума о том, как природа должна себя вести.

Некоторые математики полагают, что математика автономна (гл. XIV), т.е. что ее аксиомы рождены чистым разумом или подсказаны опытом, а вся остальная математика построена на них уже независимо от опыта. Если встать на эту точку зрения, то как объяснить, почему математика применима к реальному миру, и особенно к физическим явлениям. На этот вопрос существует несколько ответов. Один из них состоит в том, что в математические аксиомы входят неопределяемые понятия, и, по-разному интерпретируя эти понятия, можно достичь согласия о описываемой физической ситуацией. Так, например, эллиптическая неевклидова геометрия применима и к обычным прямым на эллиптической плоскости, под которой можно — понимать и обычные «физические» плоскости (ведь «в пределе» при очень большой длине каждой прямой эллиптическая геометрия переходит в евклидову!), и к геометрии на сфере, где «прямыми» служат дуги больших окружностей сферы, высекаемых из нее плоскостями, проходящими через центр сферы.

Объяснение такого рода предложил Пуанкаре. Ему хотелось, чтобы математика была чисто дедуктивной наукой, которая лишь шаг за шагом выводит следствия из исходных аксиом. Используя правдоподобные аксиомы, возможно подсказанные его чувственными восприятиями, человек создает евклидову или неевклидову геометрии. Аксиомы и теоремы этих геометрий не являются ни эмпирическими, ни априорными истинами. Они истинны или ложны ничуть не больше, чем правильно или неправильно использование полярных координат по сравнению с прямоугольными. Пуанкаре назвал эти геометрии соглашениями для упорядочения и измерения тел или замаскированными определениями понятий. Мы используем ту геометрию, которая наиболее удобна. Тем не менее, подчеркивал Пуанкаре, мы всегда используем евклидову геометрию c прямыми, понимаемыми в обычном смысле, т.е. как натянутые нити или край линейки, потому что евклидова геометрия самая простая. Почему же теоремы геометрии должны быть применимы к физическому миру? Ответ, данный Пуанкаре, гласил: потому что мы изменяем физические законы, стремясь привести их в соответствие с математикой, «подогнать» под нее.

Чтобы проиллюстрировать выдвинутый Пуанкаре тезис, рассмотрим, как геодезисты определяют расстояния. Сначала они выбирают удобный базис — отрезок AB (рис. 15.1), длина которого измеряется мерной лентой. Чтобы определить расстояние AC, геодезист измеряет угол CAB, визируя в специальную трубу, установленную в точке A, направление на точку C, а затем наводя трубу на точку B. По лимбу на теодолите геодезист узнает, на какой угол была повернута труба, и тем самым измеряет угол CAB. Аналогичным образом геодезист измеряет угол ABC. Предполагается, что лучи света, идущие из C в A и из B в A, совпадают с отрезками прямых (натянутыми нитями), соединяющими точки C и B с точкой A.

Рис 15.1. Измерение расстояний методом триангуляции.

Но мы знаем, что аксиомы евклидовой геометрии согласуются с представлением о прямой как о натянутой нити, поэтому геодезист при вычислении расстояний AC и BC смело использует евклидову геометрию. Предположим теперь, что полученные геодезистом расстояния все же оказались неверными. Как это могло произойти? Луч света, идущий из точки C в точку A, мог распространяться по траектории, показанной на рис. 15.1 пунктиром; при этом, чтобы поймать световой «зайчик», геодезисту приходилось наводить теодолит в точке A по касательной к описываемой лучом света траектории. Следовательно, теодолит мог быть наведен на точку C', хотя геодезист видел точку C, и вместо угла CAB он измерил угол C'AB. В этом случае применение евклидовой геометрии могло бы дать неверные значения расстояний AC и BC.

Итак, возникает вопрос: по какому пути распространяются лучи света? Иногда они распространяются по «настоящим» (обычным) прямым, иногда изгибаются вследствие рефракции в атмосфере. Предположим, что геодезист определил расстояния AC и BC неверно. Не имея никаких оснований считать лучи света искривленными, он тем не менее счел их таковыми и в своих вычислениях обращался с отрезками AC и BC как с криволинейными. Введя надлежащие поправки в измерения углов в пунктах A и B, геодезист мог бы воспользоваться евклидовой геометрией и получить правильные значения расстояний AC и BC.

Приведем еще один пример, поясняющий тезис Пуанкаре о том, что математику можно подогнать под физическую реальность; этот пример касается вращения Земли. По мнению Пуанкаре, вращение Земли необходимо принять как физический факт, так как в астрономии это допущение приводит к более простой математической теории рассматриваемых явлений. Действительно, простота математической теории была единственным аргументом, который Коперник и Кеплер смогли привести в пользу гелиоцентрической системы по сравнению со старой геоцентрической системой Птолемея.

Развитая Пуанкаре философия науки обладает несомненным достоинством. Мы действительно пытаемся обходиться возможно более простой математикой и изменять в случае необходимости физические законы так, чтобы наши умозаключения находились в согласии с физическими фактами. Но современные физики и математики используют в качестве критерия простоту математической и физической теории в целом. И если для получения простейшей комбинированной [физико-математической] теории нам придется воспользоваться неевклидовой геометрией, как это сделал Эйнштейн в своей теории относительности[183], то мы пойдем на это.

Хотя объяснение эффективности математики, предложенное Пуанкаре, было более подробным, в определенных пределах он считал верным и кантовское объяснение, а именно ту его часть, где говорится, что согласие между математикой и природой создается человеческим разумом. Так, в «Ценности науки» Пуанкаре утверждает:

Но та гармония, которую человеческий разум полагает открыть в природе, существует ли она вне человеческого разума? Без сомнения — нет; невозможна реальность, которая была бы полностью независима от ума, постигающего ее, видящего, чувствующего ее. Такой внешний мир, если бы даже он и существовал, никогда не был бы нам доступен. Но то, что мы называем объективной реальностью, в конечном счете есть то, что общо нескольким мыслящим существам и могло бы быть общо всем. Этой общей стороной, как мы увидим, может быть только гармония, выражающаяся математическими законами.

([1], с. 158.)

Есть и другое, несколько туманное, возможно, чрезмерно упрощенное объяснение эффективности математики. Согласно этому объяснению, существует объективный физический мир и человек стремится согласовать с ним свою математику. Мы вносим необходимые коррективы, когда приложения обнаруживают неточности математического описания или прямые ошибки в нашей математике. Подобную точку зрения Гильберт высказал в докладе на II Международном математическом конгрессе в 1900 г.:

А между тем во время действия созидательной силы чистого мышления внешний мир снова настаивает на своих правах: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает нам новые области математического знания. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистой мысли мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким путем наилучшим образом продвигаем вперед новые теории. На этой постоянно повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом, мне кажется, и основаны те многочисленные и поражающие аналогии и та кажущаяся предустановленной гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей знания.

([51], с. 16-17.)

В более простых (и в наше время менее правдоподобных) объяснениях эффективности математики повторяются тезисы, которые математики выдвигали с античных времен и примерно до середины XIX в. И сейчас находятся люди, продолжающие верить в то, что природа устроена на математических началах. Скрепя сердце им приходится признать несовершенство прежних математических теорий, созданных для объяснения физических явлений. В то же время такие люди полагают, что при непрерывном усовершенствовании математические теории могут не только охватить более широкий круг явлений, но и достигнуть более тонкого согласия с наблюдениями. Так, механика Ньютона пришла на смену механике Аристотеля, а специальная теория относительности внесла поправки в ньютоновскую механику. Разве из исторического развития науки не следует, что окружающий нас мир основан на неких определенных принципах и что человеческий разум все более приближается к их познанию? Именно такое объяснение взаимосвязи между математикой и естествознанием дал Шарль Эрмит:

Если я не ошибаюсь, существует мир, представляющий собой собрание математических истин и доступный нам только через наш разум, — точно так же существует мир физической реальности. Как один, так и другой не зависят от нас, они оба — творение господа бога и различимы лишь по слабости нашего разума, тогда как на более высокой ступени мышления они суть одно и то же. Синтез этих двух миров отчасти проявляется в чудесном соответствии между абстрактной математикой, с одной стороны, и всеми отраслями физики — с другой.

В письме к Лео Кёнигсбергеру Эрмит добавил, что «эти понятия анализа существуют самостоятельно вне нас, образуя единое целое, лишь часть которого беспрепятственно, хотя и несколько загадочно, открывается нам; это целое ассоциируется с другой совокупностью объектов, которые мы воспринимаем органами чувств».

Джеймс Джинс в «Загадочной Вселенной» также разделяет неоднократно высказывавшиеся ранее взгляды: «…судя по некоторым специфическим особенностям своего творения, великий создатель Вселенной начинает представать перед нами как чистый математик». Однако до этого Джинс счел необходимым заявить, что «математика, созданная человеком, пока еще не вошла в контакт с первозданной реальностью». На последующих страницах книги Джинс становится более догматичным в своих высказываниях:

Природа, по-видимому, великолепно осведомлена о правилах чистой математики в том виде, в каком их сформулировали в своих исследованиях ученые, руководствуясь внутренним сознанием и не полагаясь особо на свой опыт общения с внешним миром… Во всяком случае не подлежит сомнению, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам.

Впоследствии Эддингтон изменил свои взгляды и стал считать, что природа основана на математических началах и что наш разум способен построить чистую науку из априорного знания («Фундаментальная теория», 1946). Эта наука — единственно возможная, любая другая содержала бы логические противоречия. Разум не может познать все детали науки, но создать общие законы — в его силах. Так, чистый разум говорит нам, что свет должен распространяться с конечной скоростью. Даже природные константы, такие, как отношение массы протона к массе электрона, могут быть определены из априорных соображений. Априорное знание не зависит от фактически произведенных наблюдений и более достоверно, чем экспериментальное знание.

Джордж Дэвид Биркгоф (первый выдающийся математик американского происхождения) в 1941 г. без колебаний повторил и поддержал мысль Эддингтона:

…Во всей системе законов физики не существует ничего, что нельзя было бы однозначно вывести из теоретико-познавательных соображений. Разум, не знающий ничего о нашей Вселенной, но знакомый с нашей системой мышления, с помощью которой человеческий разум интерпретирует для себя содержание чувственного опыта, смог бы достичь всего знания физики, которого мы достигли с помощью эксперимента… Например, он мог бы путем умозаключений прийти к выводу о существовании и свойствах радия, но не смог бы определить размеры Земли.

Не вполне адекватное, но разумное объяснение эффективности математики предложил в 1918 г. молодой Эйнштейн:

…История показала, что из всех мыслимых построений в данный момент только одно оказывается преобладающим. Никто из тех, кто действительно углублялся в предмет, не станет отрицать, что теоретическая система практически однозначно определяется миром наблюдений, хотя никакой логический путь не ведет от наблюдений к логическим принципам теории. В этом суть того, что Лейбниц удачно назвал «предустановленной гармонией».

([126], т. 4, с. 41.)

Позиция Эйнштейна в зрелые годы отражена в его книге «Мир, каким я вижу его» (1934), в которой он, в частности, утверждал следующее:

Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность.

([126], т. 4, с. 184.)

Свое убеждение Эйнштейн подтверждает и в следующем известном высказывании о боге: «Я не верю, что бог играет в кости».[184]Если же бог и играет в кости, то, как сказал Ральф Вальдо Эмерсон, «кости господа бога налиты свинцом». В приведенном выше высказывании Эйнштейн не утверждает, что выведенные нами математические законы верны. Он лишь констатирует, что какие-то математические законы существуют вне нас — и мы надеемся приблизиться к ним возможно более. По словам самого Эйнштейна, «господь бог изощрен, но не злобен».

Один из крупнейших историков и философов науки, Пьер Дюгем, в своей книге «Цель и структура физической теории», подобно Эйнштейну, проходит эволюцию от сомнений к положительным утверждениям. Дюгем первым описал физическую теорию как «абстрактную систему, предназначенную для суммирования и логической классификации определенной группы экспериментальных законов и не претендующую на их объяснение». По Дюгему, теории носят приближенный, временный характер и «лишены ссылок на объективную реальность». Физика имеет дело лишь с данными чувственного опыта, и нам необходимо избавиться от иллюзии, будто теоретизируя, мы «срываем покров с данных чувственного опыта». Когда гениальный ученый привносит математический порядок и ясность в хаотическое нагромождение чувственных восприятий, он достигает своей цели лишь ценой замены сравнительно доступных разуму понятий символическими абстракциями, не открывающими истинной природы окружающего нас мира. Тем не менее Дюгем заканчивает утверждением: «Невозможно поверить, что этот порядок и эта организация [вносимые математической теорией] не являются отражением реального порядка и реальной организации». Мир построен великим архитектором по математическому плану. Бог вечно геометризует, и человеческая математика описывает математические начала, на которых зиждется мир.

Герман Вейль был уверен в том, что математика отражает порядок, существующий в природе. В одном из выступлений Вейль сказал:

В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа. Сверх всяких ожиданий убеждение (я бы лучше сказал, мечта!) в существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики.

Вейль считает, что, возможно, именно мечта о гармонии Вселенной вдохнула жизнь в научное мышление, и в книге «Философия математики и естественных наук» он добавляет:

Наука погибла бы без поддержки трансцендентальной веры в истинность и реальность и без непрерывного взаимодействия между научными фактами и построениями, с одной стороны, и образным мышлением — с другой.

Хотя от высказываний Джинса, Вейля, Эддингтона и Эйнштейна невозможно просто отмахнуться, большинство современных математиков и физиков не разделяют их взглядов на взаимосвязь математики и природы. Математическое описание природы достигло столь поразительных успехов, что предлагаемые Джинсом, Вейлем, Эддингтоном и Эйнштейном объяснения представляются вполне разумными, подобно тому как евклидова геометрия на протяжении многих столетий казалась математикам неоспоримой истиной. Но в наше время вера в единый, основанный на математических принципах «план», лежащий в основе всей природы, давно угасла.

Существует еще один подход к объяснению взаимосвязи математики и природы. Он также наводит на мысль о некой соответствии, но соответствии особого рода, которое обычно упускают из виду. За последние сто лет возник статистический подход к описанию природы. По иронии судьбы его родоначальником стал Лаплас, твердо веривший в то, что явления природы строго детерминированы в соответствии с математическими законами. Однако причины, вызывающие то или иное явление, как считал Лаплас, не всегда известны, и наблюдения обладают лишь ограниченной точностью. Чтобы определить наиболее вероятные причины и наиболее вероятные результаты, следует воспользоваться теорией вероятностей. «Аналитическая теория вероятностей» (3-е изд — 1820) Лапласа по праву считается классическим трудом по этому разделу математики. История теории вероятностей и математической статистики весьма обширна, и нам нет необходимости входить здесь в излишние подробности (см., например, [130] и — по поводу позиции Лапласа — [131]). Но менее чем за сто лет вероятностно-статистические представления привели к возникновению новых взглядов, согласно которым явления природы не детерминированы, а носят случайный характер, но существует некий наиболее вероятный, средний, режим. Именно его мы и наблюдаем, утверждая, что он детерминирован математическими законами. Поясним сказанное на примере. Продолжительность человеческой жизни колеблется в довольно широких пределах: одни умирают в младенческом возрасте, другие доживают почти до ста лет. Поэтому для всех мужчин и женщин существует не только средняя продолжительность жизни, но и средняя продолжительность жизни по достижении определенного возраста. Строя свою деятельность с учетом этих данных, страховые компании извлекают солидные прибыли. Статистический подход к описанию природы особенно существенное распространение получил в последнее время в связи с развитием квантовой механики, которая утверждает, что не существует «твердых», дискретных, строго локализованных частиц. Каждая частица распределена с определенной вероятностью по всему пространству, но с наибольшей вероятностью она сосредоточена («локализована») в каком-то одном месте.

Согласно статистическим представлениям, математические законы природы описывают в лучшем случае наиболее вероятный режим протекания того или иного явления; однако они не исключают полностью, например, возможности того, что Земля может неожиданно сойти со своей орбиты и отправиться странствовать в глубины космического пространства. Статистический подход как бы оставляет за природой возможность «передумать» и не делать того, что наиболее вероятно. Некоторые философы, занимающиеся проблемами естествознания, пришли к заключению, что необъяснимая эффективность математики остается необъяснимой. Впервые эту точку зрения выразил американский математик, естествоиспытатель и философ Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914): «По-видимому, в этом есть какая-то тайна, которую еще предстоит раскрыть».

Эрвин Шредингер в своей книге «Что такое жизнь с точки зрения физики» [132] (1945) признавал, что суть открытия человеком законов природы вполне может быть недоступна человеческому разуму. Другой физик, Фримен Дайсон, также считает, что «мы, по-видимому, еще не приблизились к пониманию взаимосвязи между физическим и математическим мирами». К словам названных ученых остается только добавить высказывание Эйнштейна: «Самое непостижимое в этом мире то, что он постижим» (ср. также [129]).

Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Пол Вигнер, обсуждая в 1960 г. непостижимую эффективность математики в естественных науках в статье под тем же названием, не дал никакого объяснения и ограничился лишь констатацией спорного вопроса:

Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.

([96]*; см. [133], с. 197.)

Последние из приведенных здесь «объяснений» носят скорее характер апологий. Они мало что говорят по существу, но их выразительный язык наводит на мысль, что авторы «объяснений» пребывают в неведении относительно причин непостижимой эффективности математики.

Сколь бы удовлетворительным или неудовлетворительным ни было любое объяснение эффективности математики, важно отчетливо сознавать, что природа и математическое описание природы не одно и то же, причем различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию (ср. [4] или [134]). Математический треугольник, несомненно, отличается от физического треугольника. Но математика отходит от природы еще дальше. В V в. до н.э. Зенон Элейский сформулировал несколько апорий, или парадоксов. Каковы бы ни были его мотивы, первая же из апорий Зенона великолепно иллюстрирует различие между математической концептуализацией и опытом. Первая апория Зенона утверждает, что бегун никогда не сможет добежать до конца дистанции, так как для этого ему необходимо сначала преодолеть 1/2 дистанции, затем 1/2 оставшейся половины, затем 1/2 половины оставшейся половины и т.д. Следовательно, всего бегуну необходимо преодолеть

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

дистанции. Но чтобы преодолеть бесконечно большое число отрезков, бегуну, по мнению Зенона, необходимо затратить бесконечно большое время.

Одно из физических решений, причем наиболее очевидное, этого парадокса состоит в том, что бегун преодолеет всю дистанцию за конечное число шагов. Но если принять математический анализ апории, проделанный Зеноном, то окажется, что на преодоление дистанции бегун должен затратить 1/2 мин плюс 1/4 мин плюс 1/8 мин и т.д., а сумма всех этих промежутков времени в точности равна одной минуте. Такой анализ расходится с физическим процессом, но тем не менее приводит к тому же результату.

Возможно, человек ввел ограниченные и даже искусственные понятия и только таким способом сумел навести порядок в природе. Созданная человеком математика не более чем рабочая схема. Сама природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура ее не обладает особой правильностью.[185]Тем не менее математика остается непревзойденным методом исследования и описания природы, позволяющим овладеть ею. В тех областях, где математика эффективна, она представляет собой все, чем мы владеем; если это и не сама реальность, то самое лучшее приближение к ней, какое только доступно для нас.

Хотя математика — творение чисто человеческое, тот путь, который она открывает нам к различным явлениям природы, приводит к результатам, превосходящим самые смелые ожидания. Как ни парадоксально, но именно абстракции, столь далекие от реальности, позволяют достичь столь многого. Возможно, что искусственное математическое описание не более чем сказка для взрослых, но сказка с моралью: человеческий разум обладает огромной силой, даже если эту силу не так-то легко объяснить.

За успехи математики заплачено определенной ценой, и эта цена — количественный подход к миру: мы рассматриваем его с точки зрения меры, веса, продолжительности и тому подобных понятий. Такое описание может давать о богатом и разнообразном опыте не более полное представление, чем рост человека о человеке. В лучшем случае математика описывает некоторые явления природы, но математические символы передают далеко не все.

Не следует забывать, что математика рассматривает простейшиепонятия и явления физического мира. Она имеет дело не с человеком, а с неодушевленной природой. Явления неодушевленной природы обладают повторяемостью, и математика может описывать их. Но в экономике, политике, психологии, а также в биологии математика пока приносит существенно меньшую пользу… Даже в физике математика имеет дело с упрощениями, лишь касающимися реальности, подобно тому как касательная лишь соприкасается с кривой и приближенно ее передает. Имеет ли орбита Земли, обращающейся вокруг Солнца, форму эллипса? Нет. Земную орбиту можно считать эллиптической только в том случае, если Землю и Солнце считать точками и пренебречь влиянием всех остальных тел во Вселенной. Повторяется ли из года в год продолжительность зимы, весны, лета и осени? Вряд ли. Они повторяются, лишь если их продолжительность оценивать приближенно, т.е. так, как только и может их оценить человек.

Станем ли мы отказываться от математики лишь по той причине, что не понимаем, почему она так эффективна в описании природы? Хевисайд как-то заметил: «Стану ли я отказываться от обеда только потому, что не до конца понимаю процесс пищеварения?» Опыт опровергает сомневающихся. Самоуверенные отвергают рациональные объяснения. При всем нашем почтении к социологии и философии, прекрасно понимая, что математика затрагивает далеко не все аспекты нашей жизни, мы, однако, не можем не признать одной простой истины: успехи математики как источника знания затмевают ее неудачи. И знания, даваемые математикой, основаны не просто на голословных утверждениях о ее правильности — они ежедневно и ежечасно подвергаются проверке в каждом работающем радиоприемнике или атомной электростанции, в предсказании солнечных и лунных затмений, в тысячах других явлений, происходящих в лабораториях или в повседневной жизни.