Формализм и теоретико-множественные основания математики 7 страница

Математики могут расходиться во мнениях, но физикам и представителям других наук не остается ничего другого, как оплакивать то горестное положение, в котором они оказались. Вот что говорит, например, профессор Массачусетского технологического института Джон Кларк Слэтер:

Физик получает очень мало помощи от математика. На каждого математика, способного понять прикладные проблемы, как фон Нейман, и внести реальный вклад в их решение, приходится двадцать математиков, не проявляющих к прикладным проблемам ни малейшего интереса, работающих либо в областях, далеких от физики, либо уделяющих основное внимание более старым и знакомым разделам математической физики. Неудивительно, что при взгляде на математиков физик испытывает такое чувство, будто они сошли с пути, который в прошлом привел к величию математики, и вряд ли ступят на него до тех пор, пока решительно не войдут в основной поток развития математической физики, потому что именно ей мы обязаны наиболее плодотворными достижениями математики в прошлом… Это единственный путь, способный привести современного математика к величию.

Забвение интересов физики было избрано темой большой лекции [116], с которой в 1972 г. выступил перед математиками известный американский физик Фримен Джон Дайсон. И прежде, и теперь, отметил Дайсон, математикам неоднократно предоставлялась возможность внести свой вклад в решение физических проблем первостепенной важности, но математики неизменно упускали свей шанс. Некоторые из этих проблем, полностью или частично, каким-то образом все же проникли в математику, но математикам не известно ни их происхождение, ни физическая значимость. Математики следуют в произвольном направлении и не пытаются даже осмысливать собственные достижения. По словам Дайсона, брак между математикой и физикой закончился разводом.

В XX в. разрыв между математикой и физикой ускорился. В наше время нередко приходится слышать и читать заявления математиков о том, что их наука не зависит от естественных наук. Математики теперь, не колеблясь, открыто признают, что их интересы сосредоточены на чистой математике, а физика им безразлична. Хотя точная статистика неизвестна, но можно полагать, что основная часть работающих сегодня математиков не сведущи в физике и спокойно пребывают в этом благословенном состоянии. Несмотря на опыт истории и на критику, тенденция к абстракции, к обобщению ради обобщения и к изучению произвольно выбранных проблем сохраняется в математике и поныне. Разумная потребность в изучении целого класса проблем с целью более глубокого понимания частных случаев и в абстракции с целью выявления сущности проблемы стала не более чем предлогом для обобщений ради обобщений и абстракций ради абстракций.

За много веков человек создал такие великие построения, как евклидова геометрия, птолемеева система мира, гелиоцентрическая система мира, механика Ньютона, теория электромагнитного поля, а позднее — теория относительности и квантовая теория. Математика, как известно, является неотъемлемой частью всех этих и многих других важных и мощных теорий, их основой и их сущностью. Математические теории позволили нам многое узнать о природе и охватить в понятных теоретических схемах множество внешне различных явлений. Математические теории дали человечеству возможность обнаружить порядок и план повсюду в природе, где только их можно было найти; они помогли нам частично или полностью овладеть обширными областями знания.

Но большинство математиков предало забвению древние традиции математики и наследие ее прошлого. Наполненные глубоким содержанием сигналы, которые посылает нам природа, достигают лишь закрытых глаз и нечутко прислушивающихся ушей. Математики продолжают жить на проценты от репутации, заработанной их предшественниками, и жаждут при этом шумного одобрения и такой же поддержки, какую математика имела в прошлом. Чистые математики пошли еще дальше — они изгнали прикладных математиков из своего братства в надежде, что им одним достанется вся слава, которую снискали их предшественники. Они выбросили за борт богатейший источник идей и беспечно транжирят накопленное ранее богатство. В погоне за блуждающим огоньком они покинули пределы реального мира. Правда, некоторые чистые математики, памятуя о благородной традиции, стимулировавшей в прошлом математические исследования и приведшей Ньютона и Гаусса к выпавшим на их долю почестям, продолжают твердить о потенциальной ценности своих математических работ для естественных наук. Они утверждают, что создают модели для теоретического естествознания. Но в действительности подобная цель их нисколько не занимает. Более того, поскольку большинство математиков абсолютно не сведущи в естественных науках, они просто не в состоянии создавать такие модели. Они считают, что лучше хранить целомудрие, чем делить брачное ложе с естествознанием. Современная математика в целом обращена внутрь, она питается своими собственными соками. Судя по опыту прошлого, маловероятно, что многие из современных математических исследований внесут хоть какой-нибудь вклад в развитие естественных наук. Возможно, математике суждено еще долго брести в кромешной тьме, отыскивая свой путь на ощупь, ведь современная математика автономна. Развиваясь в направлениях, которые по ее собственным критериям определяются как имеющие отношение к делу и предпочтительные перед другими, современная математика даже гордится своей независимостью от диктуемых внешним миром проблем, мотивировок, побудительных стимулов. В отличие от математики прошлого современная математика не обладает более ни единством, ни целью.

Изоляция большинства современных математиков достойна сожаления по многим причинам. Сфера приложений математики в науке и технике расширяется необычайно быстро. Вплоть до недавнего времени казалось, что близко к осуществлению пророчество Декарта, видевшего в математике высшее достижение человеческого разума, триумф логики над эмпиризмом и предсказавшего проникновение математических методов во все науки. Но именно в тот момент, когда математический подход распространился на многие области знания, математики отошли в сторону. Сто лет назад и ранее математика и физика были тесно связаны между собой. С тех пор между ними произошел разрыв, и ныне брешь между математикой и физикой достигла весьма ощутимых размеров. Современные математики упускают из виду, что ценность их науки определяется прежде всего тем вкладом, который она вносит в познание законов природы и в овладение природой. Большинство современных математиков хотят полностью изолировать свою науку и заниматься лишь исследованиями, лежащими в стороне от насущных проблем естествознания. Между теми, кто считает необходимым при выборе направления своих исследований придерживаться древней благородной традиции, и теми, кто предпочитает плыть по течению и расследовать все, что подсказывает их неуемная фантазия, произошел раскол. Утратив за последние сто лет развития математики — становившейся все более чистой — остроту зрения, математики разучились читать книгу природы и потеряли всякую охоту к подобному чтению. Они обратились к таким областям математики как абстрактная алгебра и топология, к таким абстракциям и обобщениям, как функциональный анализ, к такой далекой от приложений деятельности, как доказательство теорем существования решений дифференциальных уравнений, к аксиоматизации различных наук и к бесплодной игре разума. Лишь немногие современные математики все еще пытаются решать более конкретные проблемы, главным образом в теории дифференциальных уравнений и близких к ней областях.

Означает ли отход большинства математиков от естественных наук, что современное естествознание может лишиться математики? Не совсем. Как заметили некоторые наиболее проницательные математики, новые Ньютоны, Лапласы и Гамильтоны создадут в будущем нужную им математику, подобно тому как их предшественники создали ее в прошлом. Ньютон, Лаплас и Гамильтон были физиками, хотя и снискали всеобщее признание как первоклассные математики. Рихард Курант писал в 1957 г. в некрологе по случаю кончины Франца Реллиха: «Если существующая ныне тенденция сохранится, то не исключена опасность, что развитие «прикладной» математики в будущем станет уделом физиков и инженеров, а профессиональные математики сколько-нибудь высокого ранга не будут иметь к этому никакого отношения». Слово «прикладная» Курант взял в кавычки, потому что он имел при этом в виду всю содержательную и наполненную смыслом математику. Сам он не проводил различия между чистой и прикладной математикой.

Пророчество Куранта сбылось. Поскольку система ценностей, принятая в математическом сообществе, отдает предпочтение чистой математике, лучшие работы в области прикладной математики выполняют инженеры-электрики, вычислители, биологи, физики, химики и астрономы. Подобно тем математикам, которых Гулливер встретил во время путешествия в Лапуту, пуристы живут на острове, висящем над Землей. Решать проблемы, связанные с жизнью общества на Земле, они предоставляют другим. Еще какое-то время такие математики будут жить в атмосфере, созданной для их науки усилиями математиков прошлого, но по исчерпании запасов живительного воздуха они обречены на гибель от удушья.

Талейран заметил однажды, что идеалист не может долго оставаться идеалистом, если он не реалист, и реалист не может долго оставаться реалистом, если он не идеалист. Применительно к математике высказывание Талейрана можно истолковать так, что реальные проблемы необходимо идеализировать и изучать абстрактно, но деятельность идеалиста, игнорирующего реальность, не жизнеспособна. Математика должна прочно стоять на земле и уходить головой в облака. Подлинную, живую, содержательную математику рождает сочетание абстракции и конкретных проблем. Математики могут воспарять в облака абстрактного мышления, но, подобно птицам, за пищей должны возвращаться на землю. Чистую математику можно сравнить с тортом, подаваемым на десерт. Он приятен на вкус и даже способен в какой-то мере насытить нас, но организм не может существовать только на тортах — без «мяса и картошки» реальных проблем, составляющих основу его питания.

Чрезмерное внимание к искусственным проблемам чревато опасностью. Если и впредь математики будут направлять свои усилия главным образом на чистую математику, то математика перестанет быть той наукой, которую так ценили в прошлом, хотя и будет носить то же название. Математика — чудесное изобретение, но чудо кроется в способности человеческого разума конструировать модели сложных и, казалось бы, не поддающихся описанию явлений природы. Именно эта способность позволяет человеку постигать глубинную сущность явлений и обретать власть над природой.

Но чтобы выбрать свой путь, человек должен быть свободен. Как сказано в «Одиссее» Гомера, «различное людям различным». Гомеру вторит живший веком позже поэт Архилох: «Каждый по-своему радует сердце». Ту же мысль мы находим у Гете: «У человека остается свобода заняться тем, что более всего привлекает его, что доставляет ему наслаждение, что кажется ему наиболее полезным». Но подлинным предметом исследования для человечества, добавляет Гете, является сам человек. Перефразируя высказывание Гете, мы можем сказать, что подлинным предметом исследования для математиков является природа. Как сказано в «Новом органоне» Фрэнсиса Бэкона, «подлинная же и надлежащая мета [конический столбик, устанавливавшийся в начальном и конечном пунктах конского ристалища в Древнем Риме] наук не может быть другой, чем наделение человеческой жизни новыми открытиями и благами» ([23], т. 2, с. 43).

В конечном счете здравый смысл должен подсказать, какое направление исследований стоит того, чтобы им заниматься. Математический мир должен проводить различие не между чистой и прикладной математикой, а между математикой, ставящей своей целью решение разумных проблем, и математикой, потакающей лишь чьим-то личным вкусам и прихотям, математикой целенаправленной и математикой бесцельной, математикой содержательной и бессодержательной, живой и бескровной.

XIV

Куда идет математика?

Смири гордыню, бессильный разум.

Блез Паскаль

Рассказывая о все возрастающих трудностях, с которыми приходилось сталкиваться математикам при поисках ответа на вопрос, что такое математика и что следует принять за основу при ее построении, мы обнаружили в итоге неприглядную картину. Главное утешение, которое получали математики от своей работы, — необыкновенная эффективность математики в приложениях к другим наукам — частично утратило свою силу, поскольку большинство математиков перестало заниматься приложениями. Как же воспринимают математики стоящую перед ними дилемму — вновь обратиться к приложениям или продолжить занятие чистой математикой — и что они могут ожидать от будущего? В чем сущность математики?

Попытаемся сначала проанализировать, как математика дошла до ее нынешнего бедственного положения и к чему это привело. Математики Древнего Египта и Вавилона, заложившие первые камни в фундамент своей науки, не имели ни малейшего представления о том, какое здание они возводят. Поэтому они не стали рыть глубокий котлован под фундамент, а начали закладывать его прямо на поверхности земли. В те давние времена земля казалась им достаточно прочным основанием, и материал, с которым они начали строительство, — факты о числах и геометрических фигурах — был взят из повседневного, земного опыта. Чисто земное происхождение математики нашло отражение в постоянно используемом нами термине «геометрия», что означает землемерие.

Однако когда здание математики начало расти, выяснилось, что все сооружение достаточно шатко и что, надстраивая новые этажи, можно превратить в руины и то, что было создано раньше. Греки классического периода не только заметили грозящую опасность, но и произвели необходимую реконструкцию. С этой целью они приняли две меры. Во-первых, выбрали на поверхности земли узкие полосы прочного грунта, на которых, как им казалось, не страшно возводить стены. Такими опорными полосами стали самоочевидные истины о пространстве и о целых числах. Во-вторых, греки укрепили каркас здания стальной арматурой — роль «стали» здесь играло дедуктивное доказательство каждого нового факта.

Здание античной математики — структуры, состоящей в основном из евклидовой геометрии, — оказалось вполне устойчивым. Правда, в нем обнаружился один досадный дефект. Дело в том, что длины некоторых отрезков выражаются иррациональными числами: например, длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичными катетами равна иррациональному числу √2. Ho греки признавали только обычные целые числа и их отношения; поэтому они не могли допустить существование таких величин, как √2. Греки решили возникшую проблему, попросту изгнав иррациональные числа: они отказались считать √2 «числом», а следовательно, отказались и от идеи сопоставлять любым длинам, площадям и объемам численные значения. Тем самым греки не внесли никаких дополнений в арифметику и алгебру целых чисел, которые можно было бы включить и в структуру геометрии. Правда, некоторые ученые александрийского периода (в первую очередь Архимед) производили арифметические действия над иррациональными числами, но эти результаты не были включены в канонический свод знаний, составляющих логическую структуру математики.

Индийцы и арабы возвели новые этажи здания математики, нимало не заботясь о его устойчивости. Прежде всего примерно в VI в. индийцы ввели отрицательные числа. Затем индийцы и арабы — менее привередливые, чем греки, — не только приняли иррациональные числа, но и разработали правила действий над ними.

Европейцы эпохи Возрождения, унаследовавшие математику греков, индийцев и арабов, поначалу с недоверием отнеслись к этим чужеродным элементам. Но вскоре потребности естествознания возобладали над осторожностью — европейцы поступились заботами о логической обоснованности математики.

Расширяя математику чисел, индийцы, арабы, а позднее европейцы возводили этаж за этажом: так появились комплексные числа, новые разделы алгебры, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, дифференциальная геометрия и т.д. Однако вместо «стали» древнегреческих мыслителей европейцы использовали «деревянные колонны и балки» — смесь интуитивных рассуждений и физических построений. Но деревянные опоры не выдержали нагрузки — в стенах величественного здания математики стали появляться трещины. К началу XIX в. здание математики снова оказалось в аварийном состоянии, и математики в спешном порядке принялись заменять дерево сталью.

Пока укрепляли верхние этажи, выяснялось, что в казавшемся столь твердом грунте (выбранных греками аксиомах), на котором покоилась вся постройка, имеются не замеченные ранее дыры. Создание неевклидовой геометрии показало, что аксиомы евклидовой геометрии не были, как считалось прежде, полосками прочного грунта, а лишь казались таковыми. Не могли служить прочной основой и аксиомы неевклидовой геометрии. То, что математики принимали за абсолютную реальность, уповая на способность своего разума познавать и безошибочно анализировать природу, на поверку оказалось ненадежными данными чувственного опыта. Но беда никогда не приходит одна: создание новых алгебр заставило математиков осознать, что и казавшиеся столь надежными свойства чисел имеют в действительности не более прочное основание, чем геометрия. Так над всем зданием математики — над геометрией и арифметикой с их продолжениями в алгебру и анализ — нависла смертельная угроза. Поднявшееся уже высоко здание могло в любой момент рухнуть или провалиться в трясину.

Чтобы спасти здание от разрушения, необходимы были экстренные меры — и математики приняли вызов. Они наконец поняли, что прочного грунта, на котором можно было бы возвести фундамент здания математики, не существует. То, что кажется прочным, в действительности обманчиво и зыбко. Но, быть может, здание математики удастся возвести на прочном основании иного рода? В качестве такого основания математики решили выбрать четко сформулированные определения, полные перечни используемых аксиом и явное доказательство всех результатов, сколь бы очевидными они ни выглядели интуитивно. Кроме того, вместо поиска истины математики устремились теперь на поиск логической непротиворечивости. Доказываемые теоремы должны быть строго взаимосвязаны, придавая зданию математики желанную прочность (гл. VII). Движение за аксиоматизацию, развернувшееся в конце XIX в., позволило придать прочность зданию математики. Так, несмотря на то что математика как будто бы утратила опору в реальности, очередной кризис в истории математики удалось преодолеть.

К сожалению, цемент, скрепляющий фундамент нового здания, не затвердевал. Строители не могли гарантировать непротиворечивость, и, когда возникли противоречия в теории множеств, математики поняли, что над их творением нависла еще более серьезная угроза. Разумеется, они не собирались безучастно наблюдать, как обращаются в прах плоды многовековых усилий. Непротиворечивость зависит от того, что положено в основу рассуждений. Следовательно, спасти положение может лишь полная перестройка оснований математики. Необходимо было укрепить сам фундамент реконструируемой математики — ее логические и математические аксиомы, и строители решили копать еще глубже. К сожалению, они так и не смогли прийти к единому мнению относительно того, где и как надлежит укреплять основания, и каждый, считая, что именно ему суждено обеспечить надлежащую прочность здания математики, приступал к перестройке так, как считал нужным. Построенное совместными усилиями здание не отличалось ни изяществом пропорций, ни особой устойчивостью. Оно расползалось во все стороны и было весьма шатким. Каждое крыло здания претендовало на роль единственно истинного храма математики, где хранятся жемчужины математической мысли.

Вероятно, всем известна притча о семи слепцах и слоне. Наткнувшись на слона, слепцы принялись ощупывать его и спорить, на что он похож. Тот, кто ощупывал хвост, заявил, что слон похож на веревку; его товарищ по несчастью, ощупывавший ногу слона, сравнил слона с колонной; третий слепец, ощупывавший хобот, утверждал, что слон подобен змее и т.д. Слепцы не могли прийти к согласию, так как все они представляли себе слона по-разному. Хотя математика по своей структуре, возможно, намного изящнее слона, тем, кто занимается основаниями математики и рассматривает ее с различных точек зрения, так же трудно согласовать свои позиции, как и несчастным слепцам.

Математика достигла ныне той стадии развития, когда вопрос о том, что, собственно, надлежит считать математикой — логицизм, интуиционизм, формализм или теорию множеств, — вызывает, ожесточенные споры. Каждое течение в основаниях математики обладает тонкой структурой: разделяется на отдельные русла, состоящие в свою очередь из множества протоков. Так, интуиционисты не сходятся между собой во мнениях относительно того, что следует считать фундаментальными, интуитивно воспринимаемыми понятиями: только целые или также и некоторые иррациональные числа, закон исключенного третьего, распространяемый только на конечные или и на счетные множества, по-разному трактуемые конструктивные методы. Логицисты полагаются только на логику, но и они не избавлены от сомнений по поводу аксиом сводимости, выбора и бесконечности. Представители теоретико-множественного течения могут двигаться в любом из нескольких различных направлений в зависимости от того, принимают они аксиому выбора и гипотезу континуума или отвергают одну из этих аксиом (ибо гипотеза континуума также имеет ныне статус аксиомы!) или даже отказываются от них обеих. Даже формалисты могут выбирать путь по своему усмотрению. Выбор принципов математики для доказательства непротиворечивости не вполне однозначен. Финитистских принципов, отстаиваемых Гильбертом, оказалось недостаточно даже для доказательства исчисления предикатов (первой ступени), не говоря уже об установлении непротиворечивости формальных математических систем Гильберта. Формалистам не оставалось ничего другого, как воспользоваться нефинитистскими методами (гл. XII). Кроме того, как показал Гёдель, в рамках наложенных Гильбертом ограничений любая достаточно мощная формальная система содержит неразрешимые утверждения, т.е. утверждения, которые, базируясь на аксиомах нельзя ни доказать, ни опровергнуть; но это значит, что подобные утверждения (или их отрицания) можно принять в качестве дополнительных аксиом. Однако и после присоединения новой аксиомы расширенная система, согласно теореме Гёделя, все еще должна содержать неразрешимые утверждения. Приняв их за новые дополнительные аксиомы, мы могли бы вторично расширить формальную систему и т.д. Процесс последовательного расширения исходной формальной системы можно было бы продолжать бесконечно.

Логицисты, формалисты и представители теоретико-множественного направления полагаются на аксиоматические основания. В первые десятилетия XX в. именно аксиоматика превозносилась как наиболее подходящий фундамент для построения математики. Но теорема Гёделя утверждает, что ни одна система аксиом не охватывает всех истин, содержащихся в любой математической структуре, а теорема Левенгейма — Сколема показывает, что каждая система аксиом включает больше, чем предполагалось. Только интуиционисты могут позволить себе безразличие к проблемам, возникшим в связи с аксиоматическим подходом.

В довершение всех разногласий и неясностей по поводу того, какие основания математики считать наилучшими, над головами математиков, подобно дамоклову мечу, висит нерешенная проблема доказательства непротиворечивости всей математики. Какую бы философию ни исповедовал тот или иной математик, в своей работе он рискует натолкнуться на противоречие.

Основной вывод, который можно сделать из существования нескольких противоборствующих подходов к математике, состоит в следующем: имеется не одна, а много математик. О математике в целом, по-видимому, правильнее говорить во множественном числе (как о многих математиках), оставив единственное число для обозначения любого из подходов. Философ Джордж Сантаяна как-то сказал: «Не существует бога, и дева Мария — матерь его». Перефразируя эти слова, можно сказать: «Не существует единой, общепринятой математики, и греки — создатели ее». Широкий выбор подходов, открывающийся перед математиками, вызывает у них ощущение, близкое к тому, которое отлично передано в следующих строках Шелли:

Пред роем нескончаемым

Бесчисленных миров

Фантазии крылатой

Кружится голова.

Насколько можно судить, в ближайшем будущем нам придется обходиться без критерия, который позволял бы выбрать предпочтительный подход к собственно математике.

Примирить разные взгляды на то, что такое истинная математика (или по крайней мере в каком направлении она должна развиваться), можно надеяться лишь основываясь на прогрессе в решении тех спорных вопросов, по которым расходятся во мнениях математики разных школ. Больше всего разногласий вызывает вопрос о том, что такое математическое доказательство.

Во все времена — начиная с древнейших ионийской и пифагорейской школ (гл. I) — предполагалось, что математическое доказательство — это ясный и бесспорный процесс; формализации этого процесса Аристотель посвятил десять лет жизни. Правда, долгое время им пренебрегали (гл. V-VIII), но в целом математики никогда о нем не забывали. Само понятие математического доказательства всегда существовало; оно и служило парадигмой и образцом, которому в той или иной степени стремились следовать ученые.

Что же заставило математиков изменить отношение к доказательству и даже разбиться на враждующие группировки, каждая из которых придерживается своей версии этого важнейшего понятия? На протяжении более чем двух тысячелетий математики разделяли старые взгляды на логику, согласно которым логические принципы в том виде, как их кодифицировал Аристотель, являются абсолютными истинами. Уверенность в непогрешимости логических принципов подкреплялась их длительным и, казалось бы, безотказным использованием. Но впоследствии математики поняли, что основы логики — такие же продукты человеческого опыта, как и аксиомы евклидовой геометрии. Возникло легкое беспокойство по поводу того, какие же логические аксиомы можно считать надежными. Так, интуиционисты не без основания ограничили область применения закона исключенного третьего. И кто знает, стали бы мы считать, что приемлемые ныне логические принципы останутся таковыми и впредь, не будь их репутация столь безупречной в прошлом?

Второй связанный с понятием доказательства спорный вопрос, возникший с появлением логистической школы, можно сформулировать так: что входит и что не входит в («исходные») логические принципы? Хотя Рассел и Уайтхед без каких-либо колебаний в первом издании «Оснований математики» включили в свой список аксиом аксиомы бесконечности и выбора, позднее они отступили от этой позиции, не только признав, что первоначальные логические принципы не были абсолютными истинами, но уяснив, что аксиомы выбора и бесконечности аксиомами логики не являются . Во втором издании «Оснований математики» эти аксиомы не были включены в исходный список аксиом и их использование при доказательстве некоторых теорем каждый раз оговаривалось особо.

Помимо разногласий относительно того, какие логические принципы можно считать приемлемыми, существуют разногласия и по поводу того, сколь далеко простираются сферы действия логики. Как известно, логицисты были убеждены, что логики достаточно для обоснования всей математики, хотя впоследствии им приходилось всячески изворачиваться, когда дело касалось проблем, связанных с аксиомами бесконечности и выбора. По мнению формалистов, одной лишь логики недостаточно и для обоснования математики; логические аксиомы необходимо дополнить чисто математическими. Представители теоретико-множественного направления обращались с логическими принципами довольно небрежно, и кое-кто из них даже не удосуживался указывать используемые логические принципы в явном виде. Интуиционисты из принципиальных соображений считали нужным не вдаваться в логику.

Еще один спорный вопрос — понятие существования. Например, установив, что каждый многочлен имеет по крайней мере один корень, мы доказываем чистую теорему существования (Existenzbewies. — нем.). Любое доказательство, если оно непротиворечиво, приемлемо с точки зрения логицистов, формалистов и представителей теоретико-множественного направления. Но доказательство, даже не использующее закона исключенного третьего, может не указывать метода, позволяющего найти (или вычислить ) тот объект, существование которого мы установили. Для интуиционистов доказательства существования такого рода неприемлемы. Нежелание интуиционистов допустить трансфинитные кардинальные и ординальные числа (поскольку эти числа интуитивно не очевидны и конструктивно не достижимы в интуиционистском понимании конструктивности, или вычислимости) — еще один пример различных стандартов понимания «существования». Спорный вопрос, в каком смысле существуют не только отдельные математические объекты, например корни многочленов, но и вся математика в целом, имеет первостепенное значение, и мы еще вернемся к нему в этой главе.

Интерес к тому, что такое истинная математика, подогревается еще одним обстоятельством. Какие математические аксиомы можно считать приемлемыми? Блестящий пример вопросов такого рода — вопрос о том, допустимо ли использование аксиомы выбора. Пытаясь ответить на него, математики встали перед дилеммой: не использовать аксиому выбора или отвергнуть ее означало отказаться от больших и важных разделов математики, а применение аксиомы выбора приводило если не к противоречиям, то к интуитивно неразумным выводам (гл. XII).