Задачи на максимум и минимум в замкнутой области

Теорема 1.7. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда достигаются либо 1) в критических точках,

либо 2)на концах отрезка.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то у неё существуют

точки, в которых она достигает максимума и минимума. Если эти значения достигаются не

на концах отрезка, то они располагаются в точках интервала . Следовательно, эти точки-

экстремальные , а любая экстремальная точка является критической. Теорема доказана.

Пример 1.8. Найти максимум и минимум функции

Решение. Вычисляем значения функции на краях отрезка

Находим критические точки внутри отрезка :

. Вычисляем значения функции в этих критических точках.

. Получаем ответ:

Пример 1.9. Среди всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса , найти прямоугольник с наименьшей площадью.

Решение. Обозначим основание прямоугольника через , а высоту через . Тогда площадь

прямоугольника вычисляется по формуле . Прямоугольник вписан в круг радиуса R

следовательно, по теореме Пифагора . Таким образом, площадь прямоугольника является функцией переменной : , . При площадь равна нулю. Следовательно, максимум лежит в критической точке функции

Искомый прямоугольник является квадратом и его площадь равна .

Пример 1.10.Среди всех прямоугольников , имеющих периметр , найти прямоугольник наибольшей площади.

Решение. Обозначим основание прямоугольника через , а высоту через . Тогда периметр

прямоугольника вычисляем по формуле . Отсюда вычисляем по формуле , а площадь прямоугольника равна: ,

При площадь равна нулю. Следовательно, максимум лежит в критической точке функции

Искомый прямоугольник является квадратом и его площадь равна .

Пример 1.11. Поперечное сечение бревна является кругом радиуса R. Из бревна вырубается брус

С прямоугольным поперечным сечением. Прочность бруса пропорциональна основанию и квадрату высоты поперечного сечения. Найти форму поперечного сечения бруса, при котором прочность максимальна.

Решение. Пусть , где основание сечения, высота сечения, а k коэффициент пропорциональности зависящий от материала бревна . По теореме Пифагора . Отсюда . При прочность =0. Следовательно, максимальная прочность может достигаться лишь в критической точке. Отсюда.

Пример 1.12. Среди всех круговых цилиндров , имеющих объём V , найти размеры цилиндра , имеющего наименьшую площадь поверхности.

Решение. По условию задачи , где радиус основания круга, а высота цилиндра.

Площадь поверхности цилиндра вычисляем по формуле . Из формулы объёма

выражаем . Критическую точку для площади находим из уравнения .

Контрольные вопросы.

I. Сформулируйте правило тестирования графика функции на монотонность помощью первой производной.

II. Сформулируйте правило тестирования графика функции на экстремумы с помощью первой производной.

III. Дайте определения выпуклости дифференцируемой функции на интервале.

IV. Сформулируйте правило тестирования графика функции на выпуклость с помощью второй производной.

V. Дайте определение точки перегиба графика дифференцируемой функции.

VI. Сформулируйте правило тестирования графика функции на определение точек перегиба с помощью второй производной.

VII. Дайте определение наклонной асимптоты графика функции. Сформулируйте правило вычисления наклонной асимптоты.

VIII. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

заданной на отрезке

Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы . В разделе ответы и решения приведены краткие решения упражнений.

Упражнение 1.1. Найти экстремальные точки и значения экстремумов функций

Упражнение 1.2.Определить интервалы выпуклости и точки перегиба функций

Упражнение 1.3.Найти высоту конуса наибольшего объёма, образующая которого

имеет длину .