Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Интегральная функция обладает следующими свойствами:

1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0; 1]

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

2. Интегральная функция является неубывающей функцией, т.е. Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, заключенные в интервале (a; b), равна приращению интегральной функции на этом интервале Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

4. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значения, например х1, равна нулю

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

5. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a; b), то Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

6. Справедливы следующие предельные соотношения:

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Дифференциальной функцией распределения вероятностей (плотности вероятностей) называют первую производную от интегральной функции:

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х принимает значение, принадлежащие интервалу (a; b) определяется равенством

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Зная дифференциальную функцию, можно найти интегральную функцию по формуле

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Дифференциальная функция обладает следующими свойствами:

1. Дифференциальная функция неотрицательна, т.е.

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен единице:

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru ,

где f(x) – дифференциальная функция. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Модой М0(Х) непрерывной случайной величины называют то её возможное значение, которому соответствует максимум дифференциальной функции.

Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины называют то её возможное значение, которое определяется равенством

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х определяется равенством

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru ,

или равносильным равенством

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определятся равенством

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определятся равенством

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Очевидно, что если k = 1, то ν1 = М(Х), μ1 = 0, если k = 2, то μ2 = D(X). Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Равномерным называют распределение вероятность непрерывной случайной величины Х, если на интервале (a; b), которому принадлежат все возможные значения Х, дифференциальная функция постоянна и равна

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru ,

и f(x) = 0 вне этого интервала.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, дифференциальная функция которой имеет вид

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru ,

где μ – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β),

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru ,

где Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru - функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ,

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

В частности, при μ = 0 справедливо равенство

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru

где μ = M(X).

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается дифференциальной функцией

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru

где λ – постоянная положительная величина.

Интегральная функция показательного распределения

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru

Вероятность попадания в интервал (a; b) непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону,

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru .

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределение соответственно равны:

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru

ПримерПостроить графики плотности вероятностей и интегральной функции распределения случайной величины Х, имеющей равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0.5; 1.5).

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru

Решение. Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru Ф Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики - student2.ru

Наши рекомендации