Произвольного угла, их свойства

Тригонометрические функции

произвольного угла, их свойства

I. Рассмотрим систему координат Оху и в ней радиус-вектор произвольного угла, их свойства - student2.ru

Будем рассматривать понятие угла с учетом направления поворота радиус-вектора от оси Ох. Если произвольного угла, их свойства - student2.ru повернулся против движения часовой стрелки, то произвольного угла, их свойства - student2.ru образованный этим радиус-вектором и положительным направлением оси Ох, назовем положительным углом (рис. 1).

произвольного угла, их свойства - student2.ru

Рис. 1

Если произвольного угла, их свойства - student2.ru повернулся от оси Ох по ходу часовой стрелки, то образованный им произвольного угла, их свойства - student2.ru будем называть отрицательнымуглом (рис. 1).

Если радиус-вектор повернулся от оси Ох в некотором направлении на произвольного угла, их свойства - student2.ru часть полного оборота, то он образовал угол меры один градус ( произвольного угла, их свойства - student2.ru ) в зависимости от направления поворота; произвольного угла, их свойства - student2.ru часть от 1º называется минутой и обозначается 1'; произвольного угла, их свойства - student2.ru часть от 1' называется секундой и обозначается 1''. Заданные единицы измерения вместе с направлением поворота дают возможность измерения любого угла, образованного радиус-вектором.

Кроме измерения угла в градусах используют также радианное измерение угла. Радианной мерой угланазывается отношение длины дуги, образованной поворотом конца радиус-вектора, к длине радиус-вектора с учетом направления поворота (рис.2):

произвольного угла, их свойства - student2.ru (1)

где l – длина дуги; r – длина радиус-вектора.

произвольного угла, их свойства - student2.ru

Рис. 2

Для перевода градусной меры в радианную и наоборот пользуются формулами

произвольного угла, их свойства - student2.ru (2)

произвольного угла, их свойства - student2.ru (3)

II. В системе Оху рассмотрим единичную окружность с центром в начале системы координат и единичный радиус-вектор, образующий с осью Ох угол произвольного угла, их свойства - student2.ru

Спроецируем конец радиус-вектора на координатные оси, получим определенные точки произвольного угла, их свойства - student2.ru (рис.3). В прямоугольном треугольнике синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

 
  произвольного угла, их свойства - student2.ru

Рис. 3

Это понятие обобщается на любой угол произвольного угла, их свойства - student2.ru острый и тупой, отрицательный и положительный.

Синусом угла произвольного угла, их свойства - student2.ru называется проекция конца радиус-вектора, образующего этот угол, на ось Оу:

произвольного угла, их свойства - student2.ru

Косинусом угла произвольного угла, их свойства - student2.ru называется проекция конца радиус-вектора, образующего этот угол, на ось Ох:

произвольного угла, их свойства - student2.ru

Тангенсом угла произвольного угла, их свойства - student2.ru называется величина, равная отношению синуса угла произвольного угла, их свойства - student2.ru к косинусу произвольного угла, их свойства - student2.ru при условии произвольного угла, их свойства - student2.ru :

произвольного угла, их свойства - student2.ru

Котангенсом угла произвольного угла, их свойства - student2.ru называется величина, равная отношению косинуса произвольного угла, их свойства - student2.ru к синусу произвольного угла, их свойства - student2.ru при условии произвольного угла, их свойства - student2.ru

произвольного угла, их свойства - student2.ru

Тангенс и котангенс угла произвольного угла, их свойства - student2.ru можно определить также через проекции х и у:

произвольного угла, их свойства - student2.ru

произвольного угла, их свойства - student2.ru

Для того, чтобы показать геометрический смысл произвольного угла, их свойства - student2.ru строят ось тангенсов. Она проходит через точку (1; 0) (касается единичной окружности), имеет такое же направление как и ось Оу и такой же масштаб на ней (рис. 4).

Для того, чтобы показать геометрический смысл произвольного угла, их свойства - student2.ru радиус-вектор продолжаем до пересечения с осью тангенсов.

Полученный на оси тангенсов отрезок (с точностью до знаков) и является произвольного угла, их свойства - student2.ru

произвольного угла, их свойства - student2.ru

Рис. 4

Для того, чтобы показать геометрический смысл произвольного угла, их свойства - student2.ru рисуют ось котангенсов. Она проходит через точку (0; 1), имеет тоже направление и тот же масштаб. Геометрическое значение произвольного угла, их свойства - student2.ru получаем после того, как продолжим радиус-вектор до пересечения с осью котангенсов (рис. 5).

произвольного угла, их свойства - student2.ru

Рис. 5

Секансом угла произвольного угла, их свойства - student2.ru называется величина

произвольного угла, их свойства - student2.ru произвольного угла, их свойства - student2.ru

Косекансом угла произвольного угла, их свойства - student2.ru называется величина

произвольного угла, их свойства - student2.ru произвольного угла, их свойства - student2.ru

Наши рекомендации