Линейные уравнения высших порядков

§1. Однородное уравнение.

Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

f(x). (1.1)

Если при всех рассматриваемых значениях функция f(x) равна нолю, то это уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Предполагаем, что коэффициенты и свободный член f(x) определены и непрерывны в интервале . Тогда уравнение (1.1) имеет единственное решение , определенное во всем интервале и удовлетворяющее начальным условиям: , причем начальные данные можно задавать произвольно, а нужно брать из интервала .

Линейное однородное дифференциальное уравнение (лоду) всегда имеет нулевое решение .

Для построения общего решения лоду достаточно знать линейно независимых в интервале частных решений , т.е. таких решений, для которых тождество

, ,

где - постоянные числа, может выполняться только при . Такая система решений называется фундаментальной. Чтобы система решений лоду была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского

был отличен от нуля хотя бы в одной точке из интервала . В действительности, в этом случае определитель Вронского отличен от нуля во всех точках интервала .

Если найдена фундаментальная система решений лоду, то формула

, (1.2)

где - произвольные постоянные, дает общее решение этого уравнения в области .

§2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Это уравнение имеет вид:

, (2.1)

где - постоянные вещественные числа. Это уравнение имеет фундаментальную систему решений , определенную при всех и состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций. Соответствующее ей общее решение:

определено в области , т.е. во всем пространстве .

Построение фундаментальной системы решений лоду делается методом Эйлера, который состоит в том, что частное решение лоду ищется в виде , где - некоторое число, подлежащее определению. Подставляя эту функцию в уравнение (2.1), после сокращения на получим характеристическое уравнение:

Его корни называются характеристическими числами уравнения (2.1). Различают три случая.

1. Все корни характеристического уравнения различны и вещественны. Обозначим их через . Тогда фундаментальной системой решений будут: , а общее решение имеет вид: .

2. Все корни характеристического уравнения различны, но среди них имеются комплексные. Пусть – комплексный корень характеристического уравнения. Тогда тоже будет корнем этого уравнения. Этим двум корням соответствуют два линейно независимых частных решения: . Записав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (2.1).

3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть - вещественный k-кратный корень. Тогда ему соответствует линейно независимых частных решений вида , а в формуле общего решения – выражение вида . Если - комплексный корень характеристического уравнения кратности , то ему и сопряженному с ним корню той же кратности соответствуют линейно независимых частных решений вида:

В формуле общего решения этим корнем соответствует выражение вида:

.

Записав линейно независимые частные решения указанного выше вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (2.1).