Системы линейных уравнений

Лекция 11

Методы решения систем уравнений установившегося режима

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений установившегося режима формируется при задании нагрузок в узлах в виде постоянного тока І_і = const:

; (1)

В матричной форме её можно записать:

,

где вектор І = І_зд – Y_оп U_оп , І_зд – вектор заданных токов в узлах.

Для выполнения преобразований будем использовать общепринятую форму записи СЛАУ:

(2)

Система уравнений (2) в матричной форме:

а₁₁ а₁₂ … а_1n x₁ b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n x₂ = b₂ (3)

… … … … …

a_n1 a_n2 … a_nn x_n b_n

или

и соответствует системе уравнений установившегося режима Y*U=I. При этом элементам матрицы коеффициентов А соответствует элементы матрицы проводимостей Y, вектору неизвестных X соответствует вектор напряжений U и вектору свободных членов В соответствует вектор заданных токов I.

Методы решения СЛАУ разделяются на две группы: прямые и итера-ционные.

Прямые(точные) методы позволяют получить точные значения искомо-го решения в результате выполнения конечного числа арифметических опера-ций (метод Гаусса, метод Жордана, метод LU- факторизации, метод двойной факторизации и др.). Используются для решения систем линейных уравнений.

Итерационные(приближенные) методы позволяют получать решение системы уравнений с заданной точностью как результат выполнения опреде-ленного числа итераций (метод Простой итерации, метод Зейделя, метод Ньютона-Рафсона и др.).

Итерационные методы заключаются в многократном повторении единооб-разных вычислений(итераций) с постепенным приближением к искомому ре-зультату. Используются для решения, в основном, систем нелинейных урав-нений.

Решение СЛАУ методом Гаусса

(Метод последовательного исключения неизвестных)

Существует много модификаций метода Гаусса, некоторые из них рас-сматриваются как самостоятельные методы. В основе их лежат эквивалент-ные преобразования системы уравнений к тому или иному виду, как резуль-тат последовательного исключения неизвестных.

Классический метод Гаусса включает 2-а последовательных этапа вычисле-ний – прямой и обратный ход.

1. Прямой ход.

Заключается в преобразовании исходной СЛАУ (2), (3) с прямоугольной мат-рицей коэффициентов к эквивалентной системе с треугольной матрицей ко-эффициентов (системы эквивалентны, если решение одной из них является решением другой).

Прямой ход метода Гаусса состоит в последовательном выполнении одно-типных шагов исключения неизвестных. На первом шаге, преобразования вы-полняются таким образом, чтобы исключить элементы уравнений, содержа-щие неизвестную величину х₁, из второго и последующих уравнений. Полу-чаем эквивалентную систему уравнений вида:

На втором шаге исключаются элементы, содержащие неизвестную х₂ из уравнений, начиная с третьего и т.д. В результате выполнения (n-1) шага ис-ключения неизвестных, получаем эквивалентную систему уравнений с треугольной матрицей коэффициентов:

Для выполнения исключения неизвестных на каждом шаге существуют раз-личные варианты эквивалентных преобразований уравнений (умножение или деление их на один и тот же коэффициент, сложение или вычитание уравне-ний и т.д.), в том числе можно использовать формулы:

Здесь: к- номер шага исключения

к =1,….,n-1;

Соответствует номеру уравнения, которое

будучи умноженным на , вычитается из

остальных уравнений.

i – номер уравнения из которого исключается неизвестная, і = к+1, … , n;

j – номер элемента в уравнении (номер столбца), j = k, … , n.

Диагональные коэффициенты а₁₁, а₂₂⁽¹⁾, а₃₃⁽²⁾, ..., а_nn^(n-1) называются ведущи-ми элементами. Они не должны быть равными нулю (условие получения ре-шения). Чем больше эти значения по абсолютной величине, тем точнее будет решение. Достигается это перестановкой уравнений, начиная с (к + 1) – го. Соответствующая модификация метода - метод Гаусса с выбором ведущего элемента.

2. Обратный ход метода Гаусса

Заключается в определении зна-чений неизвестных, начиная с по-

следнего.

Из последнего уравнения преоб-разованной системы находим x_n, затем подставляем его в пред-последнее уравнение и находим из него x_n-1, и так далее. Из пер- вого уравнения определяем x₁.

Для проверки правильности решения - найденные значения подставляем в исходные уравнения. Они должны обратиться в тождества.

Классический метод Гаусса лежит в основе большинства методов и мо-дификаций, объединенных общим названием - методы исключения. Они базируются на последовательном исключении неизвестных из СЛАУ. Применительно к уравнению установившегося режима, такие преобразова-ния соответствуют исключению узлов и их линий связи из расчетной схемы, то есть, если из системы уравнений установившегося режима исключается неизвестная , то это соответствует исключению первого узла и его линий связи из схемы:

При исключении к- го узла, связанного с узлами s и f , звезда узла к преобразуется в многоугольник:

Появляется новая линия s-f, её проводимость определяется по формуле:

,

где y_kk- cобственная проводимость к- го узла.

Если ветвь s-f уже существовала (с проводимостью y_sf^(ст)), то проводимость новой линии:

.

Проводимость узла y_k и ток I_k разносятся в смежные узлы s и f . Эти величины мы можем определить по формулам:

Такое преобразование схемы соответствует к-му шагу исключения неиз-вестных на прямом ходе метода Гаусса и является эквивалентным, т.к. напряжения и токи в остающихся (на данном шаге) ветвях и узлах остаются неизменными.

При выполнении прямого хода метода Гаусса появляются новые ненуле-вые элементы в матрице проводимостей Y. Топологически это соответст-вует образованию новых ветвей при преобразовании многолучевой звезды в многоугольник. Их количество сильно зависит от последовательности рас-смотрения уравнений при выполнении прямого хода.

Пример:

Решение систем линейных уравнений методом Жордана

(Метод Гаусса без обратного хода)

Решение СЛАУ выполняется за один этап, в результате которого мат-рица коэффициентов А преобразуется в единичную матрицу Е:

Ах= В;

Ех= В⁽ⁿ⁾;

x= B⁽ⁿ⁾.

Выполняется n последовательных шагов исключения неизвестных.

На первом шаге первое уравнение делим на ведущий элемент а₁₁ и ис-ключаем неизвестную х₁ из всех уравнений начиная со второго (аналогично методу Гаусса):

А⁽¹⁾х=В⁽¹⁾

Получаем систему уравнений в виде:

На втором шаге исключения второе уравнение делится на а₂₂⁽¹⁾ и неиз-вестная х₂ исключается из всех уравнений, исключая второе уравнение:

На к-ом шаге исключения к-ое уравнение делится на коэффициент а_кк^(к-1) при x_k и неизвестная х_к исключается из всех уравнений, кроме к-го.

Формулы для пересчета коэффициентов a_ij аналогичны формулам метода Гаусса, но отличаются пределами изменения индекса i: i=1,…,n; i≠k.

В результате выполнения n шагов, исключения неизвестных получаем эквивалентную систему уравнений, в которой матрица коэффициентов равна единичной:

Ех= В⁽ⁿ⁾; x= B⁽ⁿ⁾.

В ней правые части уравнений - искомые значения неизвестных х, то- есть они являются решением исходной системы уравнений.

Возможны модификации этого метода с выбором ведущего элемента.