Теоретические сведения. Конечные разности
Конечные разности. Пусть известны значения некоторой функции для равноотстоящих значений аргумента
. Конечными разностями первого порядка называются следующие величины:
;
; …;
; … .
Aналогично определяются конечные разности второго порядка:
;
; …;
; …
и т.д.
Конечные разности -го порядка выражаем через конечные разности
-го порядка:
;
; …;
; … .
Вычисление конечных разностей можно оформить в виде
табл. 7.1, которая называется диагональной таблицей конечных разностей.
Таблица 7.1
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |||||
![]() | ||||||
![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ||||||
![]() | ![]() | |||||
Первая интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционный полином Ньютона – форма записи интерполяционного полинома Pn(x), которая допускает уточнения результатов интерполирования последовательным прибавлением новых узлов.
Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид
,
где .
Формула используется для интерполирования в точках , близких к началу таблицы
, поэтому её называют также и интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования в начале таблицы. Отметим, что конечные разности, входящие в первую интерполяционную формулу Ньютона, расположены в верхней косой строке таблицы конечных разностей.
Погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона записывается в виде
,
где – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполяции.
Вторая интерполяционная формула Ньютона. Пусть точка интерполирования лежит вблизи конечной точки таблицы
. В этом случае для интерполирования применяется вторая интерполяционная формула Ньютона
,
где .
Вторая интерполяционная формула Ньютона содержит конечные разности, расположенные в нижней косой строке таблицы конечных разностей.
Погрешность второй формулы
,
где – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполяции
.
Интерполяционная формула Гаусса. Пусть точка интерполирования лежит в середине таблицы между узлами интерполяции
и
, т.е.
. В этом случае для интерполирования применяется интерполяционная формула Гаусса
,
где ;
– целая часть числа
.
Погрешность интерполяционной формулы Гаусса имеет вид
,
где – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполирования.
Численное дифференцирование. Пусть функция задана таблицей своих значений
. Требуется вычислить производную в некоторой точке
.
Пусть для определенности точка находится в начале таблицы. Построим интерполяционный многочлен по первой формуле Ньютона
,
где .
Производную приближённо можно вычислить следующим образом:
,
т.е.
Если требуется найти производную в точке
, лежащей в середине или в конце таблицы, то формулу для её вычисления получаем, исходя из формулы Гаусса или второй интерполяционной формулы Ньютона.
Обратное интерполирование. Задача обратного интерполирования заключается в определении по заданному значению функции , соответствующего значения
. Если
– монотонная непрерывная функция на интервале
, причем
, то функция
в этом случае имеет обратную функцию.
Пусть задана функция :
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Для многочлена Лагранжа нужно просто перевернуть таблицу:
.
Рассмотрим случай равноотстоящих узлов. Для определенности полагаем, что содержится между
и
(для 1-й формулы Ньютона). Этот метод называется методом последовательных приближений:
.
Используем метод итерации. Для этого необходимо уравнение привести к виду :
.
После приведения уравнения к виду, пригодному для метода итерации, в качестве начального приближения выбираем
.
Доказано, что при
. В случае получения расходящегося процесса необходимо уменьшить h. Продолжая процесс итерации, получаем
.
Процесс итерации на практике продолжается до тех пор, пока не установятся цифры, соответствующие требуемой точности:
.
Для нахождения корня уравнения методом обратной интерполяции нужно рассмотреть функцию
и составить таблицу ее значений, близких к нулю. При этом количество узлов выбирается в зависимости от требуемой точности корня. Выбираем интервал, на котором функция меняет знак, и решаем задачу обратного интерполирования, т.е. отыскиваем значение x, для котoрого y = 0.