Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов

Погрешности. Источники погрешностей. Распространение погрешностей

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

(лекции)

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Интерполяция и экстраполяция. Конечные разности и их свойства.

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

(лекции)

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Обобщенная степень. Конечные разности от обобщенной снртепени.

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

(лекции)

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Интерполяционные полиномы Ньютона.

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

(лекции)

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Интерполяционный полином Лагранжа. Алгоритм вычисления лагранжевых коэффициентов.

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов

Пусть Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru — набор Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru неизвестных переменных (параметров), Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru , Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru , Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru — совокупность функций от этого набора переменных. Задача заключается в подборе таких значений x, чтобы значения этих функций были максимально близки к некоторым значениям Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru . По существу речь идет о «решении» переопределенной системы уравнений Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru , Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru в указанном смысле максимальной близости левой и правой частей системы. Сущность МНК заключается в выборе в качестве «меры близости» суммы квадратов отклонений левых и правых частей Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru . Таким образом, сущность МНК может быть выражена следующим образом:

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru .

В случае, если система уравнений имеет решение, то минимум суммы квадратов будет равен нулю и могут быть найдены точные решения системы уравнений аналитически или, например, различными численными методами оптимизации. Если система переопределена, то есть, говоря нестрого, количество независимых уравнений больше количества искомых переменных, то система не имеет точного решения и метод наименьших квадратов позволяет найти некоторый «оптимальный» вектор Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru в смысле максимальной близости векторов Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru и Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru или максимальной близости вектора отклонений Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru к нулю (близость понимается в смысле евклидова расстояния).

Пример — система линейных уравнений

В частности, метод наименьших квадратов может использоваться для «решения» системы линейных уравнений

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru ,

где матрица Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru не квадратная, а прямоугольная размера Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru (точнее ранг матрицы A больше количества искомых переменных).

Такая система уравнений, в общем случае не имеет решения. Поэтому эту систему можно «решить» только в смысле выбора такого вектора Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru , чтобы минимизировать «расстояние» между векторами Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru и Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru . Для этого можно применить критерий минимизации суммы квадратов разностей левой и правой частей уравнений системы, то есть Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru . Нетрудно показать, что решение этой задачи минимизации приводит к решению следующей системы уравнений

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru .

Используя оператор псевдоинверсии, решение можно переписать так:

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru ,

где Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru — псевдообратная матрица для Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru .

Данную задачу также можно «решить» используя так называемый взвешенный МНК (см. ниже), когда разные уравнения системы получают разный вес из теоретических соображений.

Строгое обоснование и установление границ содержательной применимости метода даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым.

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Подбор интерполяционного полинома методом наименьших квадратов - student2.ru

Наши рекомендации