Экстремум функции нескольких переменных

Как и в случае одной переменной, функция z=f(x,y) имеет узловые, определяющие структуру графика точки. В первую очередь это точки экстремума.

Определение

Точка M(x_{0 ,} y₀) называется точкой локального максимума (минимума) функции z=f(x,y) если существует окрестность точки M, такая, что для всех точек (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство

Необходимо обратить внимание на локальный характер экстремума функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении лишь в достаточно малой окрестности точки (x₀ , y₀).

Сформулируем необходимое условие экстремума – многомерный аналог теоремы Ферма.

Теорема (Необходимое условие экстремума)

Пусть точка (x₀ , y₀) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Равенство нулю частных производных в точке экстремума является необходимым, но не достаточным условием. Это видно на примере функции и точки O(0,0)(Рис. 6.6.1).

Рис. 6.6.1

Частные производные функции в этой точке равны нулю, однако функция, которая является гиперболическим параболоидом, в нуле не имеет экстремума: f(0,0)=0. В любой окрестности точки O есть как положительные значения функции, так и отрицательные. Такие точки называются седловыми и являются двумерным аналогом точек перегиба функций одной переменной.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума называют критическими или стационарными.

Если частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называют частными производными второго порядка: , , , . Можно доказать, что если частные производные функции z=f(x,y) непрерывны в точке (x₀,y₀), то в этой точке .

Теорема (Достаточное условие экстремума функции двух переменных)

Пусть функция z=f(x,y):

а) определена в некоторой окрестности точки (x₀,y₀), в которой и .

б) Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

.

Тогда если , то в точке (x₀,y₀) функция z=f(x,y) имеет экстремум, причем если A<0– минимум, A<0 если – максимум. В случае , функция z=f(x,y) экстремума не имеет. Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум

1. Найти частные производные функции и .

2. Решить систему уравнений и и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример

Найти экстремумы функции .

Решение

1. Найдем частные производные , .

2. Найдем критические точки функции из системы уравнений . Система имеет решения: (1; 1), (1; –1), (–1; 1) и (–1; –1).

3. Найдем частные производные второго порядка: .

4. Вычислим их значения в каждой критической точке и проверяем в ней выполнение достаточного условия экстремума. Например, в точке (1; 1): А=С=–2, В=0. Так как и , то в точке (1; 1) есть точка максимума. Аналогично устанавливаем, что точка (–1; –1) – точка минимума, а точки (1; –1) и (–1; 1), в которых – экстремума нет. Эти точки являются седловыми.