Тема 6.2. Определенный интеграл
Тема 5.1 Производная функции.
№1.Найти производную функций:
а) ; б) ; в) ; г) д) ; е) ;
ж) ; з) .
№2.Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .
№3.Составить уравнение касательной к кривой ,которая проходит параллельно прямой .
№4.Скорость точки, которая движется прямолинейно, задана уравнением . В какой момент времени ускорение точки будет равно 2м/с2?
№5.Точка движется по координатной прямой по закону . В какой момент времени скорость точки будет равна 19? ( - координата точки в момент времени ).
№6.Вращение тела вокруг оси происходит по закону . Найти, в какой момент времени тело остановится (t- время в секундах, - угол поворота в радианах)
№7. По прямой движутся две материальные точки по законам и . В какой момент времени их скорости будут равны?
Тема 5.2. Исследование функций с помощью производной.
№1.Проведите полное исследование функции по данной схеме и постройте его график.
Схема исследования функции для построения ее графика:
1.Найти область определения функции.
2.Выяснить, является ли функция четной и нечетной (или периодической)
3.Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти).
4.Производная и критические точки функции.
5.промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и значения функции в этих точках.
6.Поведение функции на концах промежутков области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).
7.Вторая производная и исследование функции на выпуклость и точки перегиба (и значения функции в этих точках)
8.Найти координаты дополнительных точек графика функции (если нужно уточнить его поведение).
9. На основании полученного исследования построить график функции.
№2.Разбейте число 18 на два положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей.
№3.Площадь прямоугольника равна 25 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.
№4.Периметр равнобедренного треугольника равен 60 см. При каком значении высоты, проведенной к основанию треугольника, площадь треугольника наибольшая?
№5. На странице текст занимает 384 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 2 см, правое и левое – по 3 см. Какими должны быть размеры страницы с точки зрения экономии бумаги?
Тема 6.1 Неопределенный интеграл; решение задач.
№1. Найдите неопределенный интеграл:
а) ; б) ; в) ;
г) ; тд) ; е) ; ж) ;
з) ; и) ; к) ; л) ;
м) ; н) ; о)
Тема 6.2. Определенный интеграл.
№1.Подготовить реферат на одну из тем:
1)Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
2)Интеграл и его применение.
3)Общее понятие определенного интеграла, его геометрический и механический смысл.
4)Применение определенного интеграла к решению физических задач.
5) Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
6) Применение определенного интеграла к вычислению объемов.
7)Свойства определенного интеграла.
8)Методы интегрирования.
9)Интегральное исчисление. Исторический очерк.
10)Лейбниц Готфрид Вильгельм.
№2.Вычислить интеграл:
а) ; б) ;
№3.Дана функция .
Вычислить: а) ; б) .
№4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и
№5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , касательной к этой параболе в ее вершине и прямой .
№6.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а) , , , ; б) , , , ;
№7. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
а) , ; б) , , , , ;
№8.Скорость движения точки меняется по закону , где - скорость, м/с; t- время, с. Найдите:
а) путь пройденный точкой за первые три секунды движения;
б) путь, пройденный точкой за третью секунду;
в) путь, пройденный точкой от начала движения t=0 до ее остановки.
№9.Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы растянуть
пружину, находящуюся в положении равновесия, на 10 см. Известно, что при
растяжении пружины на 1 см сила натяжения равна 5 Н.
№10.Дан прямоугольный неоднородный стержень, плотность в точке определяется по формуле . Найдите массу стержня длиной .