Канонические уравнения прямой

Положение прямой L в пространстве можно однозначно определить, в частности, заданием какой-либо ее фиксированной точки М₀ и ненулевого вектора , коллинеарного этой прямой. Такой вектор называется направляющим вектором прямой.

Пусть прямая L проходит через точку в направлении вектора . Так как важно направление, а не точка приложения вектора , то его всегда можно отложить так, чтобы прямая проходила через него, например, поместив его начало в точку . Возьмем на прямой произвольную точку и соединим ее вектором с М₀. Тогда вектора – коллинеарны, т.к. лежат на одной прямой. Т.к. координаты коллинеарных векторов пропорциональны, то:

.

Параметрические уравнения прямой

Примем каждое из отношений в предыдущих уравнениях за параметр t, который может принимать любые значения, т.к. m, n, p – заданы, а координаты x, y, z могут принимать любые значения.

,

откуда

Наиболее часто параметром t является время.

Уравнения прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки . Составим канонические уравнения этой прямой. Для этого за направляющий вектор примем вектор , соединяющий две заданные точки, т.е. . В качестве фиксированной точки возьмем любую из заданных, например М₀. Поэтому из канонических уравнений имеем

.

Пример. Написать уравнения прямой, проходящей через точки и .

Подставим координаты точек в уравнения, получим

.

Угол между двумя прямыми

Пусть в пространстве даны две прямые

,

с направляющими векторами . Тогда j – угол между ними, равен углу, образованному векторами . Поэтому

.

Угол между прямой и плоскостью

Углом j между прямой L, заданной уравнением и плоскостью p, заданной уравнением

,

называется угол между прямой L и ее проекцией на плоскость l.

Т.к. – вектор, перпендикулярный плоскости p, то и . Из скалярного произведения – направляющего вектора прямой, находим

.

Следовательно .

Точка пересечения прямой и плоскости

Подставим параметрические уравнения прямой

в уравнение плоскости вместо x, y, z. Найдем значение параметра t, соответствующее точке пересечения, а затем, подставив его в параметрические уравнения, определим координаты точки пересечения .

Прямая на плоскости

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Рассуждая аналогично, как в разделе “Прямая в пространстве”, можно написать следующие уравнения прямой l на плоскости Oxy.

Каноническое уравнение прямой

,

где – точка, через которую проходит прямая; – направляющий вектор прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

,

где – точки, через которые проходит прямая.

Общее уравнение прямой

Прямую на плоскости Oxy можно задать еще как пересечение двух плоскостей

откуда . Обычно для обозначения свободного члена используют букву С и общее уравнение прямой записывают так:

Коэффициенты А и В являются компонентами вектора , нормального к данной прямой.