Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций

Раздел 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Вычислительной математикой называют раздел математики, в котором изучаются методы решения математических задач путем реализации вычислительных алгоритмов, а также круг вопросов, связанных с организацией и проведением вычислений. Указанные методы принято называть численными методами. Для выяснения понятия численного метода рассмотрим следующую задачу: найти действительные корни уравнения:

Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru .

Замечаем, что левая часть уравнения является суммой элементов геометрической прогрессии и может быть преобразована следующим образом:

Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru .

Теперь уравнение записывается в виде

Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru

и очевидно имеет единственный действительный корень Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru . В данной задаче использован аналитический метод решения, основанный на использовании аналитического аппарата: формул, теорем, преобразований и т.п.

Решим теперь похожее уравнение

Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru .

После нескольких безрезультатных попыток аналитического решения исследуем уравнение графическим методом.

Построив примерный график функций Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru и Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru (см. рис. 1), видим, что они пересекаются в единственной точке.

Абсцисса точки пересечения указывает приближенное значение корня уравнения Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru .

 
  Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru

Рис. 1.

Приближенное расположение корня можно установить еще следующим образом. Вычисляем значения функции, стоящей в левой части уравнения, в целочисленных точках и результаты сводим в таблицу

X -1
1 +X +X3 -1

Непрерывная функция принимает все значения между своими значениями на концах интервала. Поэтому, очевидно, корень уравнения Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru лежит на интервале (-1; 0). Если в качестве решения задачи взять середину интервала, то можно сказать, что корень уравнения приближено равен -0,5 и отстоит от точного значения на величину, не превышающую 0,5. Абсолютную величину отклонения найденного приближенного решения от точного значения назовем погрешностью решения задачи. Тогда Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru и погрешность в определении корня меньше 0,5.

Уточним место расположения корня, для чего вычислим функцию Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru при Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru . Из сравнения Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru со значениями функции на концах интервала (-1;0) видим, что вследствие разности знаков функции корень уравнения расположен на интервале (-1; -0,5). Середину данного интервала Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru считаем новым приближенным значением корня. При этом погрешность не превышает 0,25. Повторяем процесс вычислений до тех пор, пока величина погрешности не станет удовлетворительной.

Рассмотренный метод решения уравнений относится к численным методам и называется методом бисекций. В нем значение корня находится с заранее договоренной погрешностью путем вычисления и анализа последовательности значений функции. Вычисления производятся в определенной последовательности и остаются однотипными для любого вида уравнения.

Пусть методом бисекций решается уравнение Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru и z-точное значение корня уравнения. Первоначально путем исследования поведения функции Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru определим интервал расположения корня уравнения. Предположим это будет интервал Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru , для которого Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru . Принимаем середину интервала Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru за приближенное значение корня и сравниваемполовину длины интервала Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru с допустимой погрешностью Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru . При Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru решение задачи заканчивается. В противном случае вычисляем Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru и делаем выбор, какую из двух половин интервала Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru взять для дальнейшего уточнения корня. Процесс вычислений циклически повторяется с последовательным сокращением в два раза ширины интервала расположения корня на каждом последующим цикле. После Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru циклов достигается погрешность меньшая Численное решение алгебраических уравнений. Метод бисекций - student2.ru .

Наши рекомендации