Типы неравенств и способы их решения

Всюду далее некоторые выражения с переменной.

I тип:

, (12)

где .

Если , то решением неравенства (12) является множество всех x из ОДЗ выражения f(x).

Если , логарифмированием по основанию a неравенство (12) сводится к равносильному неравенству. При этом существенно учитывается величина основания a:

1) если , то в результате логарифмирования получают неравенство

2) если , то после логарифмирования приходят к неравенству

Далее решают в зависимости от вида выражения f(x)

Если исходное неравенство имело знак « » или « », или « », то аналогично знак неравенства меняется на противоположный в случае , и не изменяется, в случае .

II тип:

,(13)

Для решения неравенства (13) (или аналогичного ему со знаком ) используют монотонность логарифма:

1) если 0 < a < 1, то неравенство (13) равносильно неравенству

,

которое решают в зависимости от вида выражений f(x) и g(x).

2) если , то неравенство (13) равносильно неравенству

.

III тип:

,(14)

где – некоторое выражение относительно . Вводят замену переменной и решают относительно переменной y неравенство

Найденные в качестве решения промежутки (если такие существуют), записывают в виде неравенств относительно y и затем возвращаются к переменной x. Остается решить полученные показательные неравенства.

Если переменная содержится и в основании степени и в показателе, то такое неравенство называется показательно-степенным.Поскольку изменение знака неравенства зависит от величины основания, то для показательно-степенных неравенств рассматривают два случая, т.е. решают совокупность систем неравенств.

Показательно-степенные неравенства решают при условии, что основание степени положительно.

В частности, аналогом показательного неравенства (13) является следующее показательно-степенное неравенство

. (15)

Его решение сводится к решению совокупности:

Пример 1. Решить неравенство и в ответе указать меньшее целое решение.

Решение. Преобразуем неравенство к виду

т.е.

Получили неравенство I типа. Решаем логарифмированием по основанию 2. Поскольку основание степени – число 2 и , то знак неравенства сохраняется:

.

Получили . Определим, между какими последовательными целыми числами находится число . Используя монотонность логарифма, имеем:

, т.е. . Тогда

.

Значит,

.

Число меньшее целое решение, которое принадлежит промежутку .

Получаем ответ: .

Пример 2. Решить неравенство

.

Решение. Запишем неравенство в виде

.

Получили неравенство II типа. Поскольку основание степени число и , то знак неравенства изменится на противоположный. Получаем неравенство:

т.е. и .

Получили ответ:

Пример 3.Найти сумму целых решений неравенства

.

Решение. Преобразуем неравенство к виду

.

Разделив обе части неравенства на получим

.

Получили квадратное неравенство относительно (неравенство III типа). Заменяем и решаем квадратное неравенство

Его решением является , т.е.

Возвращаемся к исходной неизвестной величине:

Получаем множество решений: xÎ[–2; 0].

Целыми решениями являются числа x = –2, x = –1 и x = 0.

Их сумма равна: .

Получаем ответ: –3.

Задания

I уровень

1.1. Определите, для каких значений неизвестного выполняется неравенство:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) .

1.2. Определите, принадлежит ли множеству решений неравенства:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1.3. Решите неравенство:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

25) 27) ;

28) ; 29) ;

30) ; 31) .

1.4. Решите неравенство графически:

1) ; 2) ; 3) .

II уровень

2.1. Решите неравенство:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

12) ; 13) ;

14) .

III уровень

3.1. Решите неравенство:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) .