Логарифмические уравнения

Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить числоb. Обозначается и по определению

Если основание логарифма а =10 или а = е, то употребляется спе­циальная запись:

– десятичный логарифм,

– натуральный логарифм.

Функция называется логарифмической, она является обратной функцией для показательной функции , . График логарифмической функции изображен на рис. 4.2.

-1

Рис. 4.2. График логарифмической функции.

Свойства логарифмической функции:

1)область определения – множество всех положительных чисел, ;

2) область значений – множество всех действительных чисел,

3) если х = 1, то

4)если то ,

где

5)если ,

то ;

6) если то

Свойства логарифмов:

1) ;

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Зная свойства логарифмов, можно выполнять тождественные преобразования.

Пример 1. Вычислить:

Решение. Применяя формулы 1–4, находим

Пример 2. Выразить через а и b, если известно, что

Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем

.

Пример 3. Вычислить:

15

Решение. Так как

и

то

15

Пример 4. Упростить выражение:

Решение. 1.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими. Простейшие логарифмические уравнения – уравнения вида:

решением которых является

Уравнения вида: где равносильны уравнению При решении уравнений, содержащих логарифмы в показателе степени, бывает полезно прологарифмировать обе части уравнения по основанию этого логарифма. Следует заметить, что при решении логарифмических уравнений надо указывать область допустимых значений переменной.

Пример 5. Решить уравнение:

Решение. Область допустимых значений Так как

,то

По второму свойству логарифмов,

Обозначим тогда

По теореме Виета

Если то

Если то

Ответ: или

Замечание. При решении показательных и логарифмических уравнений полезно сделать проверку.

Пример 6. Решить уравнение:

Решение. Областью допустимых значений является решение системы неравенств:

т. е.

Поскольку 8 и 16 являются степенями двойки, то переходим к логарифмам по основанию 2:

Обозначим тогда

Если то

если то

Ответ: или

Пример 7. Решить уравнение:

Решение. Областью допустимых значений является множество решений неравенства Поскольку решить такое неравенство трудно, то после решения уравнения сделаем проверку и посмотрим, удовлетворяют ли корни уравнения области допустимых значений.

Поскольку то

Проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений.

Если то

Eсли то Оба корня удовлетворяют области допустимых значений.

Ответ: или .

Пример 8. Решить уравнение:

Решение. Область допустимых значений .

Прологарифмируем обе части равенства по основанию 3:

Если то

Если то

Оба корня удовлетворяют области допустимых значений.

Ответ: или

Последующие примеры не являются логарифмическими уравнениями, но содержат логарифмы. Примеры такого рода часто встречаются в вариантах ЕГЭ в частях В и С.

Пример 9. При каких значениях х соответственные значения функций:

будут отличаться менее чем на 2?

Решение. Для ответа на вопрос требуется решить неравенство: учитывая область допустимых значений уравнения т. е. .

Раскрывая знак модуля, получим:

или

Дальнейшие преобразования приводят к следующим результатам:

что равносильно системе неравенств

Полученный результат не противоречит области допустимых значений.

Ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение. Прежде всего заметим, что выражение в левой части неравенства неотрицательно, поэтому решение возможно лишь в случае, когда и правая часть неотрицательна, т. е. или , откуда

В силу этого Тогда исходное неравенство приобретает вид:

откуда

Последнее неравенство может иметь решение в единственном случае, когда

Перепишем уравнение в виде

и сделаем замену

Тогда _.

Если то что не удовлетворяет условию Если то .

Ответ: .