Виды неопределенностей и замечательные пределы

Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке a конечные или бесконечные пределы. Если эти пределы — конечные числа, то пределы от суммы, разности, произведения и частного этих функций вычисляются согласно теореме об арифметических свойствах пределов. Если предел f(x) конечное число A, а виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = ± ¥, то виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru + g(x) ) = [A + (± ¥)] = ± ¥, виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru – g(x) ) = [A – (± ¥)] = K ¥,

виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru Если предел f(x) конечное число A, а виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = ± ¥ или виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = 0, то пределы

от частного этих функций вычисляются согласно теореме о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями:

виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru

Вопрос о значении предела остается невыясненным в случаях

виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru – g(x)) = [¥ – ¥], виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru =[0·¥], виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru .

Такие выражения называются неопределенностями, значения пределов в этих случаях зависят от конкретного вида функций f(x) и g(x). Например,

1) виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru ;

2) виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru В этих примерах при раскрытии одной и той же неопределенности [¥ – ¥] получили разные ответы.

В качестве упражнения придумайте примеры, показывающие, что выражения [0·¥], виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru действительно являются неопределенностями.

При вычислении пределов от функций вида виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru обычно следует перейти к степени с основанием e, воспользовавшись основным логарифмическим тождеством: виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru . Поскольку величина предела такой функции зависит от величины предела виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , а при вычислении предела от произведения функций неопределенность возникает только в виде [0·¥], то в нашем случае неопределенность возникнет, если

1) виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = 0, виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = ±¥ или 2) виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = ±¥, виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = 0.

Заметим, что виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = 0, если виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = 1, виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = +¥, если виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = +¥, а виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = – ¥, если виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = 0.

Таким образом, получаем неопределенности, возникающие при вычислении пределов от степеней с переменными основанием и показателем: [1¥], [00], [¥0].

В литературе по математическому анализу обычно рассматриваются два предела, получившие названия «первый замечательный предел» и «второй замечательный предел».

Первый замечательный предел виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru раскрывает неопределенность

виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru и может быть записан еще в трех видах:

виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru .

Второй замечательный предел виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = e раскрывает неопределенность [1¥] и может быть записан еще в трех видах: виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru . В последних двух модификациях второго замечательного предела раскрываются неопределенности виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru .

Доказательства замечательных пределов можно найти в учебнике Шипачева В.С. (глава 4, § 4).

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ТЕОРЕМА. Пусть функции f(x), f1(x), g(x), g1(x) являются бесконечно малыми при стремлении x к a, причем f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x). Тогда если существует предел виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , то существует и предел виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , причем виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Согласно определению эквивалентных бесконечно малых функций виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru и виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru . Следовательно,

виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru = виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru · виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru · виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru =

= 1· виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru · 1 = виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru . Теорема доказана.

Заметим, что во всех видах записи замечательных пределов, раскрывающих неопределенности виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru , числитель и знаменатель дроби являются эквивалентными бесконечно малыми. Более того, если a(x) является бесконечно малой при стремлении x к a, то, заменив в этих пределах x на a(x), получим верные равенства, то есть

виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru и т. д. Следовательно, если a(x) — бесконечно малая при стремлении x к a, то

sin a(x) ~ a(x), tg a(x) ~ a(x), arcsin a(x) ~ a(x), arctg a(x) ~ a(x),

ln (1+a(x)) ~ a(x), e a(x) – 1 ~ a(x).

Приведем несколько примеров на использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

Пример 1.

виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru .

Здесь использованы эквивалентности бесконечно малых при стремлении x к 0: sin 5x ~ 5x и tg 3x ~ 3x и применена теорема об эквивалентных бесконечно малых.

Пример 2.

виды неопределенностей и замечательные пределы - student2.ru .

Здесь использованы эквивалентности бесконечно малых при стремлении x к 3: ln (1+ x – 3) ~ x – 3 и tg 2(x – 3) ~ 2(x – 3) и применена теорема об эквивалентных бесконечно малых.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Наши рекомендации