Перечень основных вопросов экзамена (без учета коллоквиума) в третьем семестре
- Что такое ориентация кривой? Параметризация, согласованная с ориентацией.
- Определение и физический смысл криволинейного интеграла 2-ого рода на плоскости.
- Напишите формулу Грина на плоскости.
- Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования.
- Восстановление функции двух переменных по ее дифференциалу.
- Ориентация поверхности и области в трехмерном пространстве.
- Всякая ли поверхность допускает ориентацию? Приведите примеры.
- Что такое согласованные ориентации поверхности и ее края в пространстве?
- Что такое согласованные ориентации области и ее границы в трехмерном пространстве?
- Определение поверхностного интеграла 2-ого рода.
- Как записать поверхностный интеграл 2-ого рода через интеграл 1-ого рода?
- Напишите формулу Стокса.
- Напишите формулу Гаусса - Остроградского.
- Что такое градиент функции? Явная формула в декартовых координатах. В чем заключается геометрический смысл градиента?
- Что такое ротор векторного поля? Дайте явную формулу в декартовых координатах? В чем состоит физический смысл ротора?
- Что такое дивергенция векторного поля? Дайте явную формулу в декартовых координатах. В чем состоит физический смысл дивергенции.
- Что такое оператор "набла"?
- Что такое потенциальное векторное поле и как найти его потенциал?
- Что такое соленоидальное векторное поле и как найти его векторный потенциал?
- Какие алгебраические операции над 0-, 1- и 2-формами на плоскости Вы знаете?
- Что такое внешний дифференциал функции и 1-формы на плоскости?
- Напишите формулу Грина на плоскости на языке форм.
- Какие дифференциальные формы бывают в трехмерном пространстве? Их интерпретация.
- Какие алгебраические операции над дифференциальными формами в пространстве Вы знаете?
- Что такое внешний дифференциал формы в пространстве?
- Каков общий вид формулы Стокса для множеств в трехмерном пространстве?
- Специальный случай общей формулы Стокса: интеграл от дифференциала 1-формы по поверхности (классическая формула Стокса)
- Специальный случай формулы Стокса: интеграл от дифференциала 2-формы по области (формула Гаусса - Остроградского).
- Как получить общее решение линейного дифференциального уравнения 1-ого порядка? Дайте формулу для решения задачи Коши.
- Что можно сказать о структуре множества решений однородного и неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-ого порядка?
- Что Вы знаете о вронскиане для дифференциального уравнения 2-ого порядка?
- Как найти общее решение линейного однородного уравнения 2-ого порядка, если известно одно его частное решение?
- Как найти решение линейного неоднородного уравнения 2-ого порядка, если известно общее решение однородного уравнения?
- Что можно сказать о структуре множества решений однородного и неоднородного линейного дифференциального уравнения
- ого порядка? - Что Вы знаете о вронскиане для дифференциального уравнения - ого порядка?
- В чем состоит метод неопределенных коэффициентов для линейного дифференциального уравнения - ого порядка с постоянными коэффициентами?
- Что такое линейная система дифференциальных уравнений 1-ого порядка и что можно сказать о структуре множества решений этой системы, однородной и неоднородной? Как свести скалярное уравнение к такой системе?
- Что Вы знаете о вронскиане для системы линейных дифференциальных уравнений 1-ого порядка?
- Что такое резонанс?
- Что такое матричная экспонента? Как ее вычислить?
- Как построить решения однородной системы 1-ого порядка с постоянными коэффициентами? Дайте общую формулу для разрешающего оператора линейной системы с постоянными коэффициентами.
- В чем состоит геометрический смысл дифференциального уравнения 1-ого порядка и задачи Коши?
- Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши. Приведите примеры нарушения условий и утверждений теоремы.
- Что такое уравнение с разделяющимися переменными? Что такое деление переменных? Что такое однородные уравнения? Как они сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными?
- Уравнение Клеро.
- Огибающая семейства кривых. Особое решение. Пример.
- Что такое уравнение в полных дифференциалах? Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Как найти решение такого уравнения?
- Что такое интегрирующий множитель?