О невычислимости в математическом мышлении 3 страница

Когда мы говорили о выводах, осуществляемых в рамках какой-то конкретной познаваемой формальной системы, или о предполагаемых результатах применения того или иного извест­ного алгоритма, рассуждения в терминах принципиально воз­можного или невозможного и в самом деле выглядели как нельзя более уместными. Вопросы возможности или невозможности вы­вода того или иного конкретного предположения из такой фор­мальной системы или алгоритма рассматривались в «принципи­альном» контексте в силу элементарной необходимости. Похо­жим образом обстоит дело с установлением истинности-высказываний,-высказывание признается истинным, если его можно представить в виде операции некоторой машины Тью­ринга, незавершаемой принципиально, вне зависимости от того, что мы могли бы получить на практике путем непосредствен­ных вычислений. (Об этом мы говорили в комментарии к воз­ражению) Аналогично, утверждение, что какое-то конкрет­ное предположение выводимо (либо невыводимо) в рамках неко­ей формальной системы, следует понимать в «принципиальном» смысле, поскольку такое утверждение, в сущности, представ­ляет собой вид утверждения об истинном (или, соответственно, ложном) характере какого-то конкретного-высказывания (см. окончание обсуждения возражения). Соответственно, когда нас интересует выводимость предположения в рамках некоторого неизменного набора правил, «познаваемость» всегда будет пони­маться именно в таком «принципиальном» смысле.

Если же нам предстоит решить вопрос о «познаваемости» самих правил, то здесь необходимо прибегнуть к «практическо­му» подходу. Принципиально возможно описать любую фор­мальную систему, машину Тьюринга, либо-высказывание, а следовательно, если мы хотим, чтобы вопрос об их «непознава­емости» имел хоть какой-нибудь смысл, нам следует рассматри­вать его именно в плоскости возможности их практической ре­ализации. В принципе, познаваемым является абсолютно любой алгоритм, каким бы он ни был, — в том смысле, что осуществля­ющая этот алгоритм операция машины Тьюринга становится «из­вестной», как только становится известным натуральное число, являющееся кодовым обозначением данной операции (например, согласно правилам нумерации машин Тьюринга, приведенным в НРК). Нет решительно никаких оснований предполагать, что принципиально непознаваемым может оказаться такой объект, как натуральное число. Все натуральные числа (а значит, и ал­горитмические операции) можно представить в виде последова­тельностидвигаясь вдоль которой, мы — в принципе — можем со временем достичь любого натураль­ного числа, каким бы большим это число ни было! Практически же, число может оказаться настолько огромным, что добраться до него таким способом в обозримом будущем не представляет­ся возможным. Например, номер машины Тьюринга, описанной в НРК, на с. 56, явно слишком велик, чтобы его можно бы­ло получить на практике посредством подобного перечисления.

Даже если мы были бы способны выдавать каждую последую­щую цифру за наименьший теоретически определимый временной промежуток (в масштабе времени Планка равный приблизитель­носм.), то и в этом случае за все время существования Вселенной, начиная от «большого взрыва» и до настоящего момента, нам не удалось бы добраться ни до какого числа, двоичное представление которого содержит более 203 зна­ков. В числе, о котором только что упоминалось, знаков более чем в 20 раз больше — однако это ничуть не мешает ему быть «познаваемым» в принципе, причем в НРК это число определено в явном гиде.

Практически «непознаваемыми» следует считать такое на­туральное число (или операцию машины Тьюринга), сложность одного только описания которого оказывается недоступной че­ловеческим возможностям. Сказано, на первый взгляд, довольно громко, однако, зная о конечной природе человека, можно смело утверждать, что какой-то предел так или иначе существовать должен, а следовательно, должны существовать и числа, нахо­дящиеся за этим пределом, описать которые человек не в со­стоянии. (См. также комментарий к возражению) В соответ­ствии с возможностьюнам следует полагать, что за преде­лами познаваемости алгоритм(предположительно лежащий в основе математического понимания) оказывается именно вслед­ствие неимоверной сложности и чрезвычайной детализирован-ности своего описания — причем речь идет исключительно об «описуемости» алгоритма, а не о познаваемости его в качестве алгоритма, которым, как предполагается, мы пользуемся-таки в нашей интеллектуальной деятельности. Требование «неописуе-мости», собственно, и отделяет случайот случаяИными словами, рассматривая случаймы должны учитывать воз­можность того, что наших человеческих способностей может оказаться недостаточно даже для того, чтобы описать это самое число, не говоря уже о том, чтобы установить, обладает ли оно свойствами, какими должно обладать число, определяющее алго­ритмическую операцию, в соответствии с которой работает наше же математическое понимание.

Отметим, что в роли ограничителя познаваемости не мо­жет выступать просто величина числа. Не представляет никакой сложности описать числа, настолько огромные, что они превзой­дут по величине все числа, которые могут потребоваться для описания алгоритмических операций, определяющих поведение любого организма в наблюдаемой Вселенной (взять хотя бы такое легко описываемое число, как, о котором мы упоминали в комментарии к— это число далеко превосходит количество всех возможных состояний вселенной для всего вещества, содер­жащегося в границах наблюдаемой нами вселенной). За пре­делами человеческих возможностей оказывается именно точное описание искомого числа, величина же его особой роли не играет.

Допустим (в полном согласии с), что описание такого алгоритмачеловеку и в самом деле не по силам. Что из это­го следует в отношении перспектив разработки высокоуспешной стратегии создания ИИ (как по «сильным», так и по «слабым» принципам — иначе говоря, в соответствии с точками зрения как, так и)? Адепты полностью автоматизированных ИИ-систем (т. е. сторонникинепременно, а также, возможно, кто-то из лагеря) предвосхищают появление в конечном итоге ро­ботов, способных достичь уровня математических способностей человека и, возможно, превзойти этот уровень. Иными словами (если согласиться с вариантом), непременным компонентом контрольной системы такого робота-математика должен стать тот самый, недоступный человеческому пониманию алгоритм. Отсюда, по всей видимости, следует, что стратегия создания ИИ, нацеленная на получение именно такого результата, обречена на провал. Причина проста — если для достижения цели необходим алгоритм, который в принципе не способен описать ни один человек, то где же тогда этот алгоритм взять?

Однако наиболее амбициозные сторонники идеирисуют себе совсем другие картины. Они предвидят, что необходимый алгоритмбудет получен не в одночасье, но поэтапно — по мере того, как сами роботы будут постепенно повышать свою эффек­тивность с помощью алгоритмов (восходящих) обучения и накоп­ления опыта. Более того, самые совершенные роботы не будут, скорее всего, созданы непосредственно людьми, а явятся продук­том деятельности других роботов, возможно, несколько более примитивных, нежели ожидаемые нами роботы-математики; кро­ме того, в процессе развития роботов будет, возможно, принимать участие и некое подобие дарвиновской эволюции, в результате чего от поколения к поколению роботы будут становиться все бо­лее совершенными. Разумеется, не обойдется и без утверждений в том духе, что именно посредством подобных, в общем-то, процессов нам самим удалось оснастить свои «нейронные компью­теры» неким для нас не познаваемым алгоритмом, на котором и работает наше собственное математическое понимание.

В нескольких последующих разделах я покажу, что при всей привлекательности подобных процессов проблема, в сущности, остается нерешенной: если сами процедуры, с помощью которых предполагается создать ИИ, являются прежде всего алгоритми­ческими и познаваемыми, то любой полученный таким образом алгоритмтакже должен быть познаваемым. В этом случае ва­риантсводится либо к варианту, либо к варианту, которые мы исключили впо причине фактической невозможно-

сти (вариант) или, по меньшей мере, крайнего неправдоподобия (вариант). Более того, если исходить из допущения, что инте­ресующие нас алгоритмические процедуры познаваемы, то нам, вообще говоря, следует отдать предпочтение именно варианту. Соответственно, вариант(равно как и, по смыслу, вариант) также следует признать практически несостоятельным.

Читателю, который искренне верит в то, что возможный ва­риантоткрывает наиболее вероятный путь к созданию вычис­лительной модели разума, я рекомендую обратить на приведен­ные выше аргументы самое пристальное внимание и тщательней­шим образом их изучить. Не сомневаюсь, что он придет к тому же выводу, к какому пришел я: если допустить, что математическое понимание и в самом деле осуществляется в соответствии с ва­риантом, то единственным хоть сколько-нибудь правдоподоб­ным объяснением происхождения нашего собственного алгорит­маостается считать божественное вмешательство — то самое сочетание, о котором мы говорили в конце — а такое объяснение, конечно же, не утешит тех, кто лелеет амбициозные перспективные планы по созданию компьютерного ИИ.

3.6. Естественный отбор или промысел Господень?

Возможно, нам следует-таки всерьез рассмотреть возмож­ность того, что за нашим интеллектом и в самом деле стоит некий божественный промысел — по каковой причине этот самый ин­теллект никак нельзя объяснить с позиций той науки, которая достигла столь значительных успехов в описании мира неодушевленных предметов. Разумеется, мы по-прежнему должны со­хранять широту мышления, однако я хочу сразу прояснить один момент: в последующих рассуждениях я намерен придерживать­ся научной точки зрения. Я намерен рассмотреть возможность того, что наше математическое понимание является результатом работы некоего непостижимого алгоритма, — а также вопрос о возможном происхождении подобного алгоритма, — никоим образом не выходя за рамки научного подхода. Возможно, кто-то из читателей этой книги склонен верить в то, что этот алгоритм и в самом деле мог быть просто вложен в наши головы по воле божьей. Убедительного опровержения такого предположения у меня, признаться, нет; хотя я никак не могу взять в толк, — если уж мы решаем отказаться на каком-то этапе от научного под­хода — почему считается как нельзя более благоразумным бро­саться именно в эту крайность. Если научное объяснение ничего, в сущности, не объясняет, то не уместнее ли будет вообще поза­быть о каких бы то ни было алгоритмических процедурах, нежели прятать свою предполагаемую свободу воли за сложностью и непостижимостью какого-то алгоритма, который, как нам хочет­ся думать, контролирует каждое наше движение? Возможно, ра­зумнее будет просто счесть (как, похоже, считал сам Гёдель), что деятельность разума совершенно не связана с процессами, про­текающими в физическом мозге, — что замечательно согласуется с точкой зрения. С другой стороны, в настоящее время, как мне представляется, даже те, кто верит в то, что мышление и впрямь является в каком-то смысле божественным даром, склонны все же полагать, что поведение человека можно объяснить, не вы­ходя за пределы возможностей науки. Несомненно, приведенные варианты являются весьма спорными, однако на данном этапе я вовсе не предполагал спорить с убеждениями сторонников точки зрения. Надеюсь, что те читатели, которых можно отнести к приверженцам той или иной формы, все же потерпят меня еще некоторое время, а я пока попробую выяснить, к чему нас может привести в данном случае научный подход.

Какие же научные последствия может иметь допущение, что математические суждения мы получаем в результате выполнения некоей необходимой и непостижимой алгоритмической процеду­ры? Вырисовывается приблизительно такая картина: исключи­тельно сложные алгоритмические процедуры, необходимые для моделирования подлинного математического понимания, являются результатом многих сотен тысяч лет (по меньшей мере) естественного отбора вкупе с несколькими тысячами лет воз­действия образования и внешних факторов, обусловленных фи­зическим окружением. Можно допустить, что наследуемые ас­пекты этих процедур формировались постепенно из более про­стых (ранних) алгоритмических компонентов в результате того же давления естественного отбора, которое ответственно за возник­новение всех остальных в высшей степени эффективных меха­низмов, из которых собраны наши тела, равно как и наши моз­ги. Врожденные потенциально математические алгоритмы (т. е. все те унаследованные аспекты, которые могли бы относиться к математическому мышлению, предположительно алгоритмиче­скому) до поры пребывали в закодированном состоянии (в виде неких особых последовательностей нуклеотидов) внутри молекул ДНК, а затем проявились посредством той же процедуры, какая задействуется при всяком постепенном (либо скачкообразном) усовершенствовании живого организма, реагирующего на давле­ние отбора. Помимо прочего, свой вклад в эти процессы вносят и всевозможные внешние факторы — такие как непосредственное математическое образование, опыт взаимодействия с физическим окружением, прочие факторы, оказывающие дополнительно са­мые разные чисто случайные воздействия. Думаю, мы должны попытаться выяснить, можно ли полагать описанную картину хоть сколько-нибудь правдоподобной?

3.7. Алгоритм один или их много?

Прежде всего, необходимо рассмотреть следующий весьма важный вопрос: может ли оказаться, что за различные виды ма­тематического понимания, свойственные разным людям, отвечает множество весьма различных, возможно, неэквивалентных алго­ритмов? В самом деле, уж в чем мы можем быть с самого нача­ла уверены, так это в том, что даже профессиональные матема­тики часто воспринимают математические «реалии» совершен­но по-разному. Для одних в высшей степени важны зрительные образы, тогда как другим удобнее иметь дело с четкими логи­ческими структурами, изящными абстрактными доказательства­ми, подробными аналитическими обоснованиями или, возможно, с чисто алгебраическими манипуляциями. В этой связи следует отметить, что, по некоторым предположениям, геометрическое, например, и аналитическое мышление осуществляются разными полушариями мозга (соответственно, правым и левым). Одна­ко часто бывает так, что всеми этими способами воспринимается одна и та же математическая истина. С алгоритмической точки зрения первое впечатление таково, что алгоритмы, отвечающие за математическое мышление различных людей, должны быть как минимум абсолютно неэквивалентными. Однако, несмотря на существенное различие между образами, которые формируют в сознании отдельные математики (или прочие смертные) для соб­ственного понимания или для сообщения другим математических идей, математическое восприятие обладает одним поразительным свойством: когда математики наконец решают для себя, что имен­но следует считать неопровержимо истинным, никаких разногла­сий по этому поводу больше не возникает, разве что поводом для такого разногласия послужит какая-либо действительная, опознаваемая (а следовательно, и исправимая) ошибка в рассу­ждениях того или иного математика (еще один возможный повод для разногласий предоставляет принципиальное расхождение во мнениях по некоторым — весьма немногочисленным — фунда­ментальным вопросам; см. комментарий к, в особенности утверждение). В целях упрощения изложения я позволю се­бе в дальнейшем последнее соображение проигнорировать. Хотя это соображение и имеет некоторое отношение к предмету на­шего разговора, на выводы оно заметного влияния не оказывает. (Придерживаемся ли мы нескольких возможных неэквивалент­ных точек зрения на какой-то вопрос или все соглашаемся на одной — существенного различия между этими двумя ситуациями в данном случае нет.)

Восприятие математической истины может осуществлять­ся самыми различными способами. Вряд ли можно усомниться в том, что вне зависимости от конкретной природы физических процессов, обусловливающих осознание человеком истинности какого-либо математического утверждения, эти процессы долж­ны весьма и весьма разниться от индивидуума к индивидууму, даже если речь идет об одном и том же утверждении. Иначе говоря, если математики при составлении суждений о неопровер­жимой истинности того или иного утверждения просто-напросто применяют какие-то вычислительные алгоритмы, то у разных математиков эти самые алгоритмы должны весьма значительно различаться по своей структуре. При этом, в некотором очевидном смысле, упомянутые алгоритмы должны быть еще и эквива­лентны друг другу.

Это условие, возможно, не так уж и абсурдно, как может по­казаться на первый взгляд, по крайней мере, с точки зрения мате­матически возможного. Весьма разные на вид машины Тьюрин­га могут давать на выходе идентичные результаты. (Рассмотрим, например, машину Тьюринга, построенную следующим образом: при выполнении действия над натуральным числом n мы полу­чаем в результате 0 всякий раз, когда n выразимо в виде суммы четырех квадратов, и 1, когда п таким образом выразить нельзя. Результат вычисления такой машины полностью совпадает с ре­зультатом другой машины, построенной таким образом, чтобы давать на выходе 0 при подаче на вход любого натурального чис­ла n — ибо известно, что в виде суммы четырех квадратов можно представить любое натуральное число; см. §2.3.) Из идентич­ности внешних конечных результатов двух алгоритмов вовсе не обязательно следует, что эти алгоритмы окажутся подобными по внутренней структуре. Однако, в определенном смысле, рассмат­риваемое допущение еще более запутывает вопрос о происхо­ждении нашего гипотетического непостижимого алгоритма(-ов) для установления математической истины, поскольку теперь нам предстоит иметь дело уже с несколькими такими алгоритмами, достаточно отличными друг от друга по внутренней структуре, но при этом существенно эквивалентными в отношении получаемого на выходе результата.

3.8. Эзотерические математики не от мира сего как результат естественного отбора

Какую же роль играет во всем этом естественный отбор? Возможно ли, чтобы естественным путем возник некий алго­ритм(или несколько таких алгоритмов), обусловливающий на­ше математическое понимание и при этом непознаваемый сам по себе (если верить допущению), либо лишь в отношении выпол­няемых им функций (в соответствии с допущением)? Начнем с повторения того, о чем мы уже говорили в началеВ процессе получения своих предположительно неопровержимо истинных математических выводов математики вовсе не считают, что они просто следуют некоему набору непознаваемых правил —правил настолько сложных, что, с математической точки зрения, они непостижимы в принципе. Напротив, они полагают, что эти выводы представляют собой результат неких обоснованных рас­суждений, пусть часто длинных и внешне запутанных, которые в конечном счете опираются на четкие неопровержимые истины, понятные, в принципе, любому.

Более того, рассматривая ситуацию с позиций здравого смысла или на уровне логических дескрипций, мы можем со всей определенностью утверждать, что математики и в самом деле де­лают то, что, как им кажется, они делают. Этот факт не подлежит никакому сомнению, а важность его переоценить невозможно. Если мы полагаем, что математики в своей деятельности следуют некоему набору непознаваемых и непостижимых вычислитель­ных правил (в соответствии с возможными вариантами), то, значит, они делают еще и это — одновременно с тем, что, как им кажется, они делают, но на другом уровне дескрипции. Каким-то образом алгоритмическое следование правилам должно давать тот же самый результат, что дают математическое понимание и интуиция — по крайней мере, на практике. Если уж мы твердо вознамерились стать приверженцами либо, либо, то нам предстоит попытаться поверить в то, что такая возможность яв­ляется вполне правдоподобной.

Нужно помнить и о том, какие блага дают эти алгоритмы. Предполагается, что они наделяют своего «носителя» — по край­ней мере, в принципе — способностью составлять корректные математические суждения об абстрактных сущностях, весьма да­леких от непосредственного жизненного опыта, что, по большей части, не дает этому самому носителю сколько-нибудь заметных практических преимуществ. Любой, кому хоть раз доводилось заглянуть в какой-нибудь современный чисто математический научный журнал, знает, насколько далеки заботы математиков от каких бы то ни было практических вопросов. Тонкости тео­ретических обоснований, обычно публикуемых в таких научных журналах, непосредственно доступны лишь очень небольшому количеству людей; и все же каждое такое рассуждение состоит, в конечном счете, из каких-то элементарных шагов, и каждый та­кой шаг может, в принципе, понять любой мыслящий индивиду­ум, даже если речь идет об абстрактных рассуждениях о сложно определяемых бесконечных множествах. Не следует забывать и о том, что алгоритм — или, возможно, целый ряд альтернативных, но математически эквивалентных, алгоритмов, — который дает человеку потенциальную способность понимать упомянутые рассуждения, каким-то образом был изначально записан не где-нибудь, а в нуклеотидных последовательностях молекулы ДНК. Если мы в это верим, то нам следует весьма серьезно задуматься, как же так получилось, что подобный алгоритм (или алгоритмы) развился в результате естественного отбора. Очевидно, что да­же в настоящее время профессия математика не дает никаких преимуществ с точки зрения борьбы за существование. (Подо­зреваю, что ее можно даже считать неблагоприятным фактором. Вследствие своего взрывного темперамента и странноватых при­страстий пуристы со склонностью к математике имеют тенденцию заканчивать свой жизненный путь на какой-нибудь низкооплачи­ваемой академической службе — или и вовсе безработными.) Го­раздо правдоподобнее выглядит иная картина: способность рас­суждать о весьма абстрактно определяемых бесконечных множе­ствах, бесконечных множествах бесконечных множеств и т. д. ни­каких особых преимуществ в борьбе за выживание нашим дале­ким предкам дать просто не могла. Этих самых предков заботили практические повседневные проблемы — такие, возможно, как постройка убежищ, изготовление одежды, изобретение ловушки для мамонтов или, несколько позднее, одомашнивание животных и выращивание урожая. (См. рис. 3.1.)

Разумно было бы предположить, что упомянутые преимуще­ства, которыми, очевидно, все же обладали наши предки, про­исходили из качеств, необходимых для решения как раз таких, практических проблем, а уже потом, гораздо позднее, выясни­лось, что эти же качества замечательно подходят и для решения проблем математических — этакий побочный результат. Во вся­ком случае, такой ход событий полагаю более или менее прав­доподобным я сам. Развивая это предположение, можно допу­стить, что под давлением естественного отбора человек каким-то образом приобрел или развил в себе некую общую способность понимать. Эта способность понимать, проникать в суть вещей, не была связана с какими-то конкретными областями его дея­тельности и оказывалась полезной буквально во всем. То же со­оружение жилищ или ловушек для мамонтов существенно услож­нилось бы, не обладай человек способностью понимать веши и явления в их общности. При этом лично я полагаю, что Homo sapiens был отнюдь не уникален в своей способности понимать.

Такой же способностью обладали, возможно, и многие другие животные, составлявшие человеку конкуренцию в борьбе за су­ществование, однако обладали в меньшей степени, в результате чего человек, в силу более интенсивного развития этой способ­ности, получил над ними весьма существенное преимущество.

Сложности с такой точкой зрения возникают как раз тогда, когда мы начинаем рассматривать наследуемую способность к пониманию как нечто по своей природе алгоритмическое. Как нам уже известно из предшествующих рассуждений и доказательств, любая (алгоритмическая) способность к пониманию, достаточ­но сильная для того, чтобы ее обладатель оказался в состоянии разобраться в тонкостях математических обоснований, в частно­сти, гёделевского доказательства в представленном мною вари­анте, должна быть обусловлена процедурой настолько замысло­ватой и непостижимой, что о ней (или ее роли) не может знать даже сам обладатель этой способности. Наш прошедший че­рез испытания естественного отбора гипотетический алгоритм, по всей видимости, достаточно силен, ведь еще во времена на­ших далеких предков он уже включал в область своей потен-

циальной применимости правила всех формальных систем, рас­сматриваемых сегодня математиками как безоговорочно непро­тиворечивые (или неопровержимо обоснованные, если речь идет о-высказываниях,, комментарий к). Сюда почти наверняка входят и правила формальной системы Цермело— Френкеля, или, возможно, ее расширенного варианта, систе­мы(иначе говоря, самойс добавлением аксиомы вы­бора) — системы (см.и 2.10, комментарий к), ко­торую многие математики сегодня рассматривают как источник абсолютно всех необходимых для обычной математики методов построения рассуждений, — а также все частные формальные системы, которые могут быть получены из системыпосред­ством применения к ней процедуры гёделизации сколько угодно раз, и кроме того, все другие формальные системы, которые могут быть получены математиками посредством тех или иных озарений и рассуждений — скажем, на основании открытия, суть которого состоит в том, что системы, полученные в результате упомянутой гёделизации, всегда являются неопровержимо обоснованными, или исходя из иных рассуждений еще более основополагающего характера. Такой алгоритм должен был также включать в себя (в виде собственных частных экземпляров) потенциальные спо­собности к установлению тонких различий, отделению справед­ливых аргументов от ничем не обоснованных во всех тех, тогда еще не открытых, областях математики, которые сегодня окку­пируют страницы специальных научных журналов. Все выше­перечисленные способности должны были оказаться каким-то образом закодированы внутри этого самого — гипотетического, непознаваемого или, если хотите, непостижимого — алгоритма, и вы хотите, чтобы мы поверили, что он возник исключительно в результате естественного отбора, в ответ на какие-то внешние условия, в которых нашим далеким предкам приходилось бороть­ся за выживание. Конкретная способность к отвлеченным мате­матическим рассуждениям не могла дать своему обладателю ни­каких непосредственных преимуществ в этой борьбе, и я со всей определенностью утверждаю, что для возникновения подобного алгоритма не существовало и не могло существовать никаких естественных причин.

Однако стоит нам допустить, что «способность понимать» имеет неалгоритмическую природу, как ситуация в корне меняет­ся. Теперь уже нет необходимости приписывать этой способности какую-то неимоверную сложность, вплоть до полной непозна-вамости или непостижимости. Более того, она может оказаться гораздо ближе к тому, что «математики, как им кажется, делают». Способность к пониманию представляется мне весьма простым и даже обыденным качеством. Ее сложно определить в каких-либо точных терминах, однако она настолько близка нам и привычна, что в принципиальную невозможность корректного моделирова­ния понимания посредством какой бы то ни было вычислитель­ной процедуры верится с трудом. И все же так оно и есть. Для создания подобной вычислительной модели необходима алгорит­мическая процедура, так или иначе учитывающая все возмож­ные варианты развития событий в будущем, — т. е. алгоритм, в котором должны быть, скажем так, предварительно запрограм­мированы ответы на все математические вопросы, с которыми нам когда-либо предстоит столкнуться. Если непосредственному программированию эти ответы не подлежат, то нужно обеспе­чить какие-то вычислительные способы для их отыскания. Как мы уже успели убедиться, если эти «вычислительные способы» (или «предварительное программирование») охватывают все, что когда-либо было или будет доступно человеческому пониманию, то сами они для человека становятся непостижимыми. Откуда же слепым эволюционным процессам, нацеленным исключительно на обеспечение выживания сильнейших, было «знать» о том, что такая-то непознаваемо обоснованная вычислительная процеду­ра окажется когда-то в будущем способной решать абстрактные математические задачи, не имеющие абсолютно никакого отно­шения к проблемам выживания?

3.9. Алгоритмы обучения

Дабы не подвергать читателя искушению чересчур поспешно смириться с абсурдностью описанной выше возможности, я дол­жен несколько прояснить картину, на что мне уже, несомненно, указывают сторонники вычислительного подхода. Как уже отме­чалось вэти самые сторонники имеют в виду не столько алгоритм, который, в известном смысле, «предварительно запро­граммирован» на предоставление решений математических про­блем, сколько некую вычислительную систему, способную обу­чаться. Такая система может состоять, в основе своей, из «воеходящих» компонентов, соединенных по мере необходимости с какими-либо «нисходящими» процедурами (см. § 1.5).

Возможно, кому-то покажется, что называть «нисходящей» систему, возникшую исключительно в результате слепого давле­ния естественного отбора, не совсем уместно. Этим термином я буду обозначать здесь те аспекты нашей гипотетической алгорит­мической процедуры, которые для данного организма зафикси­рованы генетически и не подвержены изменению под влиянием последующего жизненного опыта или обучения каждого отдель­ного представителя вида. Хотя упомянутые нисходящие аспек­ты и не были созданы кем-то или чем-то, обладающим подлин­ным «знанием» об их предполагаемых функциях и возможностях (речь идет всего лишь о трансляции определенных цепочек ДНК, приводящей к соответствующей активности клеток мозга), они, тем не менее, способны четко обозначить правила, в соответствии с которыми и будет действовать математически активный мозг. Эти нисходящие процедуры снабдят нашу систему теми алго­ритмическими операциями, которые составят необходимую фик­сированную структуру, в рамках которой, в свою очередь, будут функционировать более гибкие «процедуры обучения» (восходя­щие).