Четырёхугольники, подобие, окружности

См. также задачи 8Г2, 8Г3, 8Г4.

236. (7-8) В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠BCD = 120°, ∠CBA = 45°,
∠CBD = 15° и ∠CAB = 90°. Найдите угол BAD. (Фольклор)

237. (8) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AL и BN. На луче AL взята точка P так, что PN = PB, а на луче BN – точка Q так, что QL = QA. Докажите, что QL || PN. (Балканиада, 2010)

238. (8) Пусть O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников, на которые медиана BM разбивает прямоугольный треугольник ABC (∠B = 90°). Найдите ∠O₁BO₂. (Д. Швецов)

239. (8) В квадрате ABCD точки E и F – середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AE и BF пересекаются в точке G. Описанная окружность квадрата вторично пересекает прямую AEв точке H. Докажите, что GE = EH. (Н. Москвитин)

240. (7-8) В прямоугольнике ABCD соединили вершину C с серединой K стороны AD. Оказалось, что CK ⊥ BD. Пусть H – точка пересечения BD и CK. Докажите, что треугольник AHBравнобедренный. (Д. Калинин)

241. (8) Вокруг квадрата ABCD описана окружность. На меньшей дуге BC взяли произвольную точку P. Отрезок PA пересекает сторону BC в точке K, а диагональ BD в точке L. Отрезок PDпересекает сторону BC в точке M, а диагональ AC в точке N. Докажите, что NK ⊥ LM. (Отбор на Всеукраинскую олимпиаду, 2008)

242. (8) Окружность, вписанная в неравнобедренный треугольник АВС, касается сторон АВ и АС в точках M и N. Нашлась такая точка K, что KB = KC и KMAN – параллелограмм. Докажите, что K лежит на описанной окружности треугольника АВС. (А. Блинков, Д. Швецов)

243. На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD выбраны точки P, M, N, Q так, что ∠MAN = 45°, PM || AN, AM || NQ. (В. Произволов)

а) (8) Докажите, что точки A, P, M, N, Q лежат на одной окружности.

б) (9) Отрезок PQ пересекает AM и AN в точках F и G соответственно. Докажите равенство площадей: S_AFG = S_PMF + S_GNQ.

244. (8-9) На сторонах AB и BC прямоугольника ABCD внешним образом построили подобные прямоугольные треугольники EAB и FCB (∠EAB = ∠FCB = 90°,
∠ABE = ∠CBF). Отразив точку B относительно середины отрезка EF, получили точку G. Докажите, что углы BDC и ADG равны. (А. Акопян)

245. (9) Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, M – середина его стороны BC, а E – точка пересечения прямых MO и AD. Докажите равенствоS_ABO:S_CDO = AE:ED. (М. Волчкевич)

246. (8-9) Точка D вне остроугольного треугольника ABC такова, что
∠ABC + ∠ABD = ∠ACB + ∠ACD = 180°. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на отрезке AD. (Д. Калинин)

247. (8-9) Хорда BR описанной окружности треугольника ABC пересекает сторону AC в точке P. Точки O_a и O_c – центры описанных окружностей треугольников APR и CPR соответственно. Докажите, что прямые AO_a и CO_c пересекаются на высоте треугольника ABC. (Д. Швецов)

248. (8-9) В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60°, Н – ортоцентр. Описанная окружность треугольника АНВ вторично пересекает прямую ВС в точке А₁, а описанная окружность треугольника ВНС вторично пересекает прямую АВ в точке С₁. Докажите, что точки Н, А₁ и С₁ лежат на одной прямой. (Д. Швецов)

249. (9) В треугольнике ABC угол B равен 60°, O – центр описанной окружности, H – ортоцентр, BM – медиана, L – середина OB. Докажите, что LM ⊥ OH. (Д. Швецов)

250. (9) СH – высота прямоугольного треугольника ABC (угол С – прямой). Вне ABC построены равносторонние треугольники AHA₁ и BHB₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁CB₁ лежит на гипотенузе AB. (Д. Шевцов)

251. (9) H – ортоцентр треугольника ABC, в котором ∠B = 60°. Серединные перпендикуляры к отрезкам AH и CH пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁HC₁ лежит на биссектрисе треугольника ABC. (Д. Швецов)

Симметрии

См. также задачи 99, 100, 190, 201, 207, 8Г3.

252. (6-7) Таня измерила угол между часовой и минутной стрелкой. Спустя полчаса она опять измерила угол между стрелками, и он оказался тем же самым. Определите, каким мог быть этот угол. (Фольклор)

254. (8) Бумажный треугольник со сторонами a, b, c перегнули по прямой так, что вершина, противолежащая стороне длины c, попала на эту сторону. Известно, что в получившемся четырехугольнике равны два угла, примыкающих к линии сгиба. Найдите длины отрезков, на которые делит сторону c попавшая туда вершина. (А. Шаповалов)

255. (7-8) В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) проведена биссектриса AD. На основании отмечена такая точка E, что AE = BD, на стороне AC – такая точка F, что
AF = AB. Докажите, что точка пересечения отрезков AD и EF лежит на высоте треугольника ABC. (Д. Калинин)

256. (7-8) Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC (АВ = ВС), касается сторон AB, BC и AC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. B₁D – диаметр вписанной окружности. Перпендикуляр, опущенный из точки A₁ на прямую AC, вторично пересекает вписанную окружность в точке Р. Докажите, что середина отрезка DP лежит на биссектрисе треугольника ABC. (Д.Швецов)

257. (7-8) Точка M принадлежит короткой дуге AB окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC. Точки P, Q симметричны M относительно боковых сторон CA и CB. Прямая l симметрична CM относительно биссектрисы угла ACB. Докажите, что l ⊥ PQ. (Д. Калинин)

258. (8-9) Около равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) описана окружность. Пусть BD – диаметр этой окружности, K – произвольная точка меньшей из дуг BC, а K' и K'' – точки, симметричные K относительно прямых AC и BC соответственно. Докажите, что прямые AC, DK и K'K'' имеют общую точку. (А. Акопян)

259. (8) На окружности, описанной вокруг равностороннего треугольник АВС, взята точка Р. Точки А₁, В₁, С₁ симметричны P относительно середин сторон BC, AC, AB треугольника ABC. Докажите, что описанная окружность треугольника А₁В₁С₁ проходит через центр треугольника АВС. (А. Заславский)

260. (7-8) AA₁, CC₁ – высоты треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямую AA₁ в точке M. Докажите, что прямая BM перпендикулярна одной из медиан треугольника CC₁B. (Д. Швецов)

261. (7-9) В треугольнике ABC ∠B = 50°, ∠C = 30°. Внутри треугольника выбрана точка M так, что ∠MBC = 20°, ∠MCB = 10°. Доказать, что AM ⊥ BC. (Сербская олимпиада, 1995)

262. (8-9) Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников BA₁B₁ иBC₁B₁, вторично пересекают прямую AC в точках K и L.

а) Докажите, что B₁K = B₁L.

б) Докажите, что IK = IL. (Д. Швецов)

263. (9) CD – биссектриса треугольника ABC. Окружность, проходящая через точку A и касающаяся биссектрисы в точке D, вторично пересекает прямую AC в точке A₁. Окружность, проходящая через точку B и касающаяся биссектрисы в точке D, вторично пересекает прямую BC в точке B₁. Докажите, что окружность, симметричная описанной около треугольника A₁B₁Cотносительно CD, касается стороны AB. (Д. Калинин)

Геометрические места

См. также задачу 8Г5.

264. (9) На гипотенузе АВ прямоугольного равнобедренного треугольника АВС выбрана произвольная точка М. Докажите, что общая хорда окружности с центром С и радиусом СА и окружности с центром М и радиусом МС проходит через середину АВ. (Ю. Блинков)

265. (9) В треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности, I – центр вписанной. Точки A', B' на лучах BC, AC таковы, что A'B = AB = AB'. Докажите, что A'B' ⊥ OI. (А. Заславский)

266. (6-7) Кеша вырезал из бумаги треугольник ABC с наибольшей стороной AB и перегнул его по прямой так, что вершина C попала на сторону AB и образовался четырёхугольник. Укажите множество точек на стороне AB, куда могла попасть вершина C. (А. Шаповалов, В. Гуровиц)

267. (7-8) Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). На стороне AB выбирается точка K, а на стороне BC – точка L так, что AK + CL = ¹/₂ AB. Найдите геометрическое место середин отрезков KL. (Д. Калинин)

268. (9) Дан треугольник ABC. На стороне AC выбираются произвольная точка K и такая точка L, что ∠ABK = ∠CBL. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников KBL. (Д. Швецов)

269. (9) Дан треугольник АВС, точка P – середина дуги АВС описанной около него окружности W. Рассматриваются всевозможные вписанные четырёхугольники PBKM, где M лежит на стороне AB, а K – на стороне BC. Найдите геометрическое место точек пересечения пересечения отрезков АК и СМ. (Ю. Блинков)

270. (9) Даны две концентрические окружности: большая и малая. А и В – диаметрально противоположные точки малой окружности, С – произвольная точка большой окружности. Лучи СА иСВ впервые пересекают малую окружность в точках К и М соответственно. При каком положении точки С длина отрезка КМ будет наибольшей? (С. Дворянинов)

Задачи на построение

271. (7-8) Докажите, что любой треугольник можно разрезать на три меньших треугольника так, чтобы каждую из получившихся частей можно было покрыть двумя другими. (А. Шаповалов)

272. (8) Дан треугольник ABC и точка M на стороне AB. Постройте на сторонах треугольника AB, BC, AC соответственно точки E, F, G так, чтобы AG = GE, EF = BF и середина O отрезкаGF лежала на CM (известно, что такие точки существуют). (Д. Калинин)

273. (9) Восстановите треугольник АВС по двум точкам: ортоцентру H и центру вписанной окружности I, если известно, что ∠А = 60°, а радиус описанной окружности равен R. (Г.Филипповский, А. Заславский)

274. (9) На сторонах AB и AC треугольника ABC нашлись такие точки D и E, что вписанная окружность четырёхугольника BCED равна описанной окружности треугольника ADE. Эти точки и окружности стерли. Восстановите стёртые точки с помощью циркуля и линейки. (А. Шаповалов)

275. (9) Бумажный квадрат ABCD со стороной 5 частично приклеен к столу по треугольнику AKL, где K лежит на стороне AB и AK = 3, а L лежит на стороне AD и
AL = 4. Неприклеенную часть квадрата разрешается перегибать по прямой, не проходящей через точки K, L, C или D. Как за два таких перегиба совместить отрезки BC и KL? (Нельзя сгибать по линии, пересекающей приклееный треугольник, не разрешено сгиб разгибать обратно.) (О. Крижановский)