Квадратный трехчлен, многочлены, функции

См. также задачи 71, 74, 8Ал4, 8Ал5, 9П5.

93. (8-9) Даны пять вещественных чисел: коэффициенты квадратного трёхчлена и его корни. Их произведение положительно. Сколько их этих 5 чисел положительны? (Б. Френкин)

94. (8-9) а) Дан квадратный трёхчлен с ненулевыми коэффициентами, имеющий вещественный корень. Всегда ли можно поставить коэффициенты в таком порядке, чтобы полученный трёхчлен имел отрицательный корень?

б) Существуют ли такие три вещественных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных? (Б. Френкин)

95. (8-9) а) Найдите все квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами, у которых сумма корней равна их произведению и равна дискриминанту.

б) Найдите все квадратные трёхчлены, у которых сумма корней равна их произведению и равна дискриминанту. (А. Блинков)

96. (8-9) Докажите, что существует бесконечно много приведённых квадратных уравнений с целыми коэффициентами, у которых один из корней равен дискриминанту. (А. Хачатурян)

97. (8) Найдите все простые натуральные числа p и q, для которых уравнение
x² + px + q = 100 имеет два целых корня. (В. Каскевич)

99. (8-9) Графики двух приведённых квадратных трёхчленов пересекаются в точке A, а прямая m касается этих графиков в точках B и C. Известно, что AB = AC. Докажите, что mгоризонтальна. (А. Шаповалов)

100. (8-9) Квадратный трёхчлен P(x) имеет различные корни r и s. Симметрично отразив его график относительно вертикальной прямой x = r, получим график другого трёхчлена Q(x). Сколько корней может иметь трёхчлен P(x) + Q(x)? (Б. Френкин)

101. (8-9) Существуют ли такие функции f и g, определенные для всех действительных x, что f(g(x)) = x + 1 при всех x, а g(f(x)) не равно x + 1 ни при каких x? (А. Блинков)

102. (9) a, b и c – различные целые числа. Известно, что уравнение
(x + a)(x + b)(x + c) + 5 = 0 имеет целый корень. Докажите, что других целых корней у него нет. (Сингапурские олимпиады, модификация)

103. (7-8) Многочлен стандартного вида с одной переменной тождественно равен сумме квадратов двух двучленов. Может ли он состоять из четырёх слагаемых? (Д. Шноль)

104. (8-9) Многочлены с целыми коэффициентами P(x), Q(x), R(x) таковы, что
P(x) = Q(x)R(x). Про P(x) известно, что он имеет степень четыре и все его коэффициенты по модулю не превосходят единицы. Найти наибольшее возможное значение наибольшего из коэффициентов многочленов Q и R. (В. Сендеров)

Логические задачи

См. также задачи 15, 6Л1, 6Л3-4.

105. (6) В “Берендеевых Полянах” для всех школьников были проведены: математическая карусель, командная и личная олимпиады. Оказалось, что среди каждых трёх человек найдутся два, которые были награждены в одном и том же соревновании. Верно ли, что из этих соревнований можно выбрать такое, что все награжденные в нём школьники были награждены не только в этом соревновании? (Д. Калинин)

106. (6-7) а) Было 12 карточек с надписями «Слева от меня – ровно 1 ложное утверждение», «Слева от меня – ровно 2 ложных утверждения», …, «Слева от меня – ровно 12 ложных утверждений». Петя разложил карточки в ряд слева направо в каком-то порядке. Какое наибольшее число утверждений могло оказаться истинными?

б) Было 33 карточки с надписями «Слева от меня ровно 1 карточка, где написана ___», «Слева от меня ровно 2 карточки, где написана ___», …, «Слева от меня ровно 33 карточки, где написана ___». Вместо подчеркивания Петя вписал «ложь» или «правда» и разложил карточки в ряд слева направо в каком-то порядке. Какое наибольшее число надписей могло стать правдой? (А. Шаповалов)

Лжецы и рыцари

В задачах про лжецов и рыцарей рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На Острове рыцарей и лжецов живут только рыцари и лжецы. Если явно не сказано другое, они знают друг про друга, кто есть кто.

См. также задачи 6Л2, 6Л5.

107. (6-8) На Острове рыцарей и лжецов как-то встретились три аборигена: Ах, Ох и Ух. Один из них сказал: «Ах и Ох – оба лжецы», другой сказал: «Ах и Ух – оба лжецы» (но кто именно что сказал – неизвестно). Сколько всего лжецов среди этих трёх аборигенов? (Е. Барабанов)

108. (6-7) Шесть незнакомых между собой жителей Острова рыцарей и лжецов поужинали за круглым столом при свечах, так что каждый из них разглядел и запомнил только двух своих соседей по столу. Назавтра одному из них – Артуру – захотелось узнать, кто сидел напротив него. Он может за один вопрос узнать у каждого про любого другого (кроме себя), спросив: «Сидел ли тот рядом с тобой за ужином?». Хватит ли Артуру четырёх вопросов? (А. Шаповалов)

109. (6-8) а) За круглым столом сидят 9 жителей Острова рыцарей и лжецов. Каждый их них сказал: «Мои соседи – рыцарь и лжец». Сколько среди них лжецов? (Фольклор)

б) За столом сидело несколько жителей Острова рыцарей и лжецов. Путешественник спросил каждого про его ближайших соседей. Каждый ответил: «Оба моих соседа – лжецы». Путешественник сказал: «Если бы вас было на одного больше или на одного меньше, я бы смог узнать, сколько среди вас рыцарей. А так не могу». Сколько человек было за столом? (Д. Шноль)

110. (6-7) Все гномы делятся на лжецов и рыцарей. На каждой клетке доски 4×4 стоит по гному. Известно, что среди них есть и лжецы и рыцари. Каждый гном заявил: «Среди моих соседей лжецов и рыцарей поровну». Сколько всего лжецов? (А. Шаповалов)

111. (6-7) В отряде богатырей все весят по-разному и делятся на наивных (всегда говорят правду) и тёртых (хану правды не говорят).

а) Несколько богатырей стали в круг. На вопрос хана: «У тебя есть тёртый сосед легче тебя?» все ответили: «Нет». После разминки они стали в круг в другом порядке. Докажите, что на вопрос хана: «У тебя есть наивный сосед легче тебя?» кто-нибудь ответит: «Нет».

б) Несколько богатырей стали в круг. На вопрос хана: «У тебя есть тёртый сосед легче тебя?» все ответили: «Да». После разминки они стали в круг в другом порядке. Докажите, что на вопрос хана: «У тебя есть наивный сосед легче тебя?» кто-нибудь ответит: «Да». (А. Шаповалов)

112. (6-8) На конгрессе были три секции: лекари, колдуны и знахари. По кругу выстроились 112 участников, среди которых знахарей и лекарей поровну. На вопрос “Верно ли, что оба твоих соседа из одной секции?” каждый ответил: “Да”. Лекарь всегда говорит правду, колдун всегда лжет, а знахарь лжет, если стоит рядом с колдуном (а иначе говорит правду). Могло ли в этом круге быть 66 колдунов? (А. Шаповалов)

Соревнования логиков

113. (6-8) Каждому из трёх логиков написали на лбу натуральное число, причём одно из этих чисел являлось суммой двух других, и сообщили им об этом. Логик не видит, что написано у него на лбу, но видит, что написано у других. Первый логик сказал, что не может догадаться, какое число написано у него на лбу. После этого то же самое сказал второй логик, а затем и третий. Тогда первый сказал: «Я знаю, что у меня на лбу написано число 50». Какие числа написаны у двух остальных? (Фольклор)

114. (6-8) Математик C предложил математикам А и В такую загадку:

– Я задумал три различных натуральных числа, произведение которых не превосходит 50. Сейчас я конфиденциально сообщу A это произведение, а B – сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.

Узнав произведение и сумму, соответственно, А и B вступили в диалог:

А: Я не знаю этих чисел.

В: Если бы моё число было произведением, я бы знал загаданные числа.

А: Но я все равно не знаю этих чисел.

B: Да и я не знаю.

А: А я уже знаю их.

B: Да и я знаю.

Какие же числа задумал математик C? (В. Лецко)

Комбинаторные задачи