Распределения, связанные с повторными испытаниями

Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли. Обозначим Х – число испытаний до первого успеха, если вероятность успеха в одном испытании р. Если первое испытание успешно, то Х = 0. Следовательно, Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru . Если Х = 1, т.е. первое испытание неудачно, а второе успешно, то по теореме умножения Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru . Аналогично, если Х = n , то все испытания до n-ого неудачны и Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru . Составим ряд распределения случайной величины Х

Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru
Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru

Случайная величина с таким рядом распределения имеет геометрическое распределение.

Проверим условие нормировки Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru .

Гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим схему испытаний, обобщающую задачу о выборке бракованных деталей и похожую на ситуацию А с N исходами. Пусть имеется n элементов, разделенных на группы: n1 элементов первого типа, n2 – второго типа и т.д., nN – N-ого типа. Какова вероятность, выбрав m элементов, получить среди них m1 элементов из первой группы, m2 – из второй и т.д. mN - из N-ой?

Ее легко вычислить по классическому определению вероятностей с учетом теоремы умножения:

Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru .

В частности, при N=2 (m2=m-m1, n2=n-n1) (задача о бракованных деталях)

Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru

Формула Пуассона и распределение Пуассона.

Пусть число испытаний n велико, вероятность p мала и Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru np мало. Тогда вероятность наступления m успехов в n испытаниях можно приближенно определить по формуле Пуассона:

Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru .

Заметим, что по формуле Пуассона можно считать вероятность неуспеха, если q мало, приняв Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru

Случайная величина с рядом распределения m, Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru имеет распределение Пуассона. Чем больше n, тем формула Пуассона точнее. Для грубых расчетов формулу применяют при n =10, Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru 0 – 2, при n = 100 Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru 0 – 3. При инженерных расчетах формулу применяют при n = 20, Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru 0 – 3, n =100, Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru 0 – 7. При точных расчетах формулу применяют при n = 100, Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru 0 – 7, n =1000, Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru 0 – 15.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru ,

Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru

Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru

Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru

Лекция 5

Экспоненциальное и нормальное распределения.

Экспоненциальное распределение.

Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность распределения задается формулой

Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru , Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru - параметр экспоненциального распределения.

Для случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru , Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru .

Если времена между последовательными наступлениями некоторого события – независимые, экспоненциально распределенные случайные величины с параметром Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru , то число наступлений этого события за время t имеет пуассоновское распределение с параметром Распределения, связанные с повторными испытаниями - student2.ru . Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального распределения.

Наши рекомендации