Нахождение экстремумов функции
Литература: [3], гл. V, § 3
[5], Ч.1, гл. 6, § 6.3
Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (x0) (f (x) > f (x0)).
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках ─ экстремумами (максимумами и минимумами) функции.
Необходимый признак существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет в точке x0 экстремум, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.
Первый достаточный признак существования экстремума: если непрерывная функция y = f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 при переходе через эту точку (слева направо) производная меняет свой знак плюса на минус, то x0 является точкой максимума, если знак меняется с минуса на плюс, то точка x0 ─ точка минимума. Если знак производной не меняется, то x0 не является точкой экстремума.
Пример 1. Найти точки экстремума функции
.
Решение. Область определения функции: .
Находим производную функции: .
Находим критические точки: не существует при , при . Критические точки и разбивают область определения функции на интервалы (-∞, 0), (0, 1), (1, +∞).
Определяем знаки производной на каждом из интервалов:
| x |
| + |
| − |
| + |
| min |
| max |
В критической точке производная меняет знак с «+» на «‑». Значит, функция имеет в точке максимум. В критической точке знак производной меняется с «‑» на «+». Следовательно, является точкой минимума функции.
Второй достаточный признак существования экстремума: если в точке x0 первая производная функции y = f (x) равна нулю, т.е. , а вторая производная функции существует и отлична от нуля, т.е. , то точка x0 является точкой экстремума. При в точке x0 функция имеет максимум, а при ─ минимум. В случае, когда данный признак не дает ответа на вопрос о существовании экстремума.
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию , пользуясь вторым достаточным признаком существования экстремума.
Решение. Область определения функции: .
Находим первую производную функции: .
при , откуда и .
не существует при .
Таким образом, данная функция имеет только одну критическую точку , поскольку точки и не входят в область определения функции .
Находим вторую производную функции: . Вычисляем ее значение в критической точке: . Значит, в точке функция имеет минимум: .