Системы и совокупности уравнений

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными Системы и совокупности уравнений - student2.ru и Системы и совокупности уравнений - student2.ru где Системы и совокупности уравнений - student2.ru Системы и совокупности уравнений - student2.ru – некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что задана система уравнений:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru (3.15)

Решить систему (3.15) – значит найти все пары чисел Системы и совокупности уравнений - student2.ru которые являются решением каждого уравнения, или доказать, что таких пар чисел не существует.

Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными.

Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными системами уравнений.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если таких решений не существует.

Две системы уравнений эквивалентны (равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.

Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей:

1) менять порядок следования уравнений;

2) умножать на число Системы и совокупности уравнений - student2.ru любое уравнение;

3) умножать на число Системы и совокупности уравнений - student2.ru одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению.

Несколько уравнений образуют совокупность уравнений

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входят в область определения остальных уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru (3.16)

где Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Геометрически каждому уравнению системы (3.16) соответствует прямая линия на плоскости:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru и Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Справедливы утверждения:

1) если Системы и совокупности уравнений - student2.ru то система (3.16) имеет единственное решение (геометрически – прямые Системы и совокупности уравнений - student2.ru пересекаются в определенной точке);

2) если Системы и совокупности уравнений - student2.ru то система (3.16) не имеет решений (прямые Системы и совокупности уравнений - student2.ru параллельны);

3) если Системы и совокупности уравнений - student2.ru то система (3.16) имеет бесконечно много решений (прямые Системы и совокупности уравнений - student2.ru и Системы и совокупности уравнений - student2.ru – совпадают).

Основными методами решения систем уравнений (3.15) являются:

1) метод подстановки;

2) метод исключения неизвестной;

3) метод сложения;

4) метод умножения (деления) уравнений;

5) метод замены переменных;

6) графический метод.

Пример 1.Решить систему Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Решение. Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы умножим на Системы и совокупности уравнений - student2.ru и прибавим ко второму:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

откуда следует

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Получаем

Системы и совокупности уравнений - student2.ru т. е. Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Следовательно,

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Заданная система сводится к решению совокупности систем:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Ее решением являются пары чисел: Системы и совокупности уравнений - student2.ru Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Пример 2.Решить систему Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Решение. ОДЗ: Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Заменим в первом уравнении системы Системы и совокупности уравнений - student2.ru тогда Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Получим дробно-рациональное уравнение:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Решаем его

Системы и совокупности уравнений - student2.ru Системы и совокупности уравнений - student2.ru Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Возвращаемся к переменным х, у:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru – подходит по ОДЗ.

Получили ответ Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Пример 3.Решить системуСистемы и совокупности уравнений - student2.ru

Решение. Данная система относится к симметрическим системам (неизвестные Системы и совокупности уравнений - student2.ru входят одинаково). Решение таких систем производят стандартной заменой переменных Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Системы и совокупности уравнений - student2.ru (3.17)

Далее используем метод сложения:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru т. е. Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Получаем корни этого квадратного уравнения:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

С учетом системы (3.17) имеем:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Возвращаясь к переменным х, у, получаем:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Решим записанные системы отдельно:

1) Системы и совокупности уравнений - student2.ru (3.18)

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Возвращаясь к системе (3.18), получаем:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

т. е. имеем два решения Системы и совокупности уравнений - student2.ru и Системы и совокупности уравнений - student2.ru

2) Системы и совокупности уравнений - student2.ru (3.19)

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Поскольку для последнего квадратного уравнения Системы и совокупности уравнений - student2.ru система (3.19) не имеет решения.

Получили ответ Системы и совокупности уравнений - student2.ru Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Пример 4.Решить систему графически:

1) Системы и совокупности уравнений - student2.ru (3.20)

2) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Решение. 1) Исходя из геометрического смысла, Системы и совокупности уравнений - student2.ru – уравнение окружности с центром Системы и совокупности уравнений - student2.ru и радиусом Системы и совокупности уравнений - student2.ru Системы и совокупности уравнений - student2.ru – прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Построим эти линии (рис. 3.2).

 
  Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Рис. 3.2

Графики имеют две точки пересечения, т. е. система имеет два решения, которые найдем из системы (3.20):

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Получили ответ Системы и совокупности уравнений - student2.ru Системы и совокупности уравнений - student2.ru

2) Уравнение Системы и совокупности уравнений - student2.ru может быть записано в виде Системы и совокупности уравнений - student2.ru и является уравнением гиперболы .

Уравнение Системы и совокупности уравнений - student2.ru может быть записано в виде Системы и совокупности уравнений - student2.ru – это биссектриса II и IV координатных углов.

Системы и совокупности уравнений - student2.ru Выполним построение (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не имеет.

Пример 5.Решить систему Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Решение. Система содержит однородное уравнение.

Так как Системы и совокупности уравнений - student2.ru получим:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Из второго уравнения найдем х:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru Системы и совокупности уравнений - student2.ru Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Получаем совокупность двух систем:

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Приходим к ответу Системы и совокупности уравнений - student2.ru и Системы и совокупности уравнений - student2.ru

Задания

I уровень

1.1.Решите систему:

1) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 2) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

3) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 4) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

5) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 6) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

7) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 8) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

1.2. Решите систему графически:

1) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 2) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

3) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 4) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

II уровень

2.1. Решите систему:

1) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 2) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

3) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 4) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

5) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 6) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

7) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 8) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

2.2. Определите, при каких значениях а система имеет единственное решение:

1) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 2) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

III уровень

3.1. Решите систему:

1) Системы и совокупности уравнений - student2.ru 2) Системы и совокупности уравнений - student2.ru

3.2. Определите, при каких значениях а система

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

1) имеет хотя бы одно решение;

2) не имеет решений.

Определите геометрический смысл результата исследования.

3.3. Определите, при каких значениях а система

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

имеет хотя бы одно решение. Решите систему.

3.4. Найдите значения a и b, при которых корни уравнения

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

удовлетворяют условиям: Системы и совокупности уравнений - student2.ru

3.5.Решите систему Системы и совокупности уравнений - student2.ru

3.6. Решите систему графически Системы и совокупности уравнений - student2.ru

3.7. Определите, при каких значениях а система

Системы и совокупности уравнений - student2.ru

имеет единственное решение.

Наши рекомендации