Пример 4. Для поперечного сечения (рис. 4, а) требуется: определить положение центра тяжести;найти осевые и центробежный моменты инерции относительно случайных центральных осей; определить направления главных центральных осей; найти главные центральные моменты инерции; вычертить сечение в масштабе 1:1 с указанием осей и размеров.
Дано: уголок № 90´90´9 (рис. 4, б);швеллер № 16 (рис. 4, в).
Уголок № 90´90´9
ГОСТ 8509-93;
; 
;
; 
;
.
Все размеры на рис.4, буказаны в сантиметрах.
Швеллер № 16ГОСТ 8240-93;
;
;
;
.
Все размеры на рис.4, в указаны в сантиметрах.
Р е ш е н и е.
1. Найдём центр тяжести заданного сечения в координатах 
, 
(рис. 4, г):
Через точку С ( 
5,84; 
2,93) проводим взаимно перпендикулярные координатные оси 
. Относительно осей находим координаты точек 
, 
. Получаем: (–5,84; –2,93); (5,04; 2,52).
Проверяем положение центра тяжести:
; 
= 0,2 %;
; 
= 0,13 %.
Статические моменты относительно осей 
получились близкими к нулю, следовательно, точка пересечения осей 
является центром тяжести, а сами оси – центральными осями заданного сечения.
2. Вычисляем моменты инерции относительно осей :
;
;
.
3. Поскольку 
, найдём положение главных центральных осей:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Поворачивая оси против часовой стрелки на угол 
, получаем главные центральные оси 
.
4. Найдём главные центральные моменты инерции:
; 
;
; 
.
Проверка:
; 
; 
; 
;
;
.
Задача 5
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Задание. Для двух балок (рис. 5) требуется написать выражениядля поперечных сил Q и изгибающих моментов M на каждом участке в общем виде, построить эпюры Q и M, найти 
и подобрать: для схемы "а" деревянную балку с круглым поперечным сечением приR= 10 МПа; для схемы "б" – стальные балки с круглым, квадратным и двутавровым поперечными сечениями при R = 210 МПа; для схемы "б" сравнить площади полученных сечений. Данные взять из табл. 5.
Таблица 5
| № строки | № схемы | a, м | b, м | c, м | M , кН × м | q , кН/м | P , кН |
| | | 1,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1 |
| | | 1,2 | 1,2 | 1,2 | 1,2 | 1,2 | 1,2 |
| | | 1,3 | 1,3 | 1,3 | 1,3 | 1,3 | 1,3 |
| | | 1,4 | 1,4 | 1,4 | 1,4 | 1,4 | 1,4 |
| | | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 1,5 |
| | | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,6 |
| | | 1,7 | 1,7 | 1,7 | 1,7 | 1,7 | 1,7 |
| | | 1,8 | 1,8 | 1,8 | 1,8 | 1,8 | 1,8 |
| | | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,9 |
| | | 2,0 | 2,0 | 2,0 | 2,0 | 2,0 | 2,0 |
| | е | а | б | в | г | д | е |
Пример 5.Для балки (рис. 5, а) требуется написать выражения дляQ и M на каждом участке в общем виде, построить эпюры Q и M , найти Mмакс и подобрать номер двутавра.
Дано: а = 3 м; b = 4,2 м; c = 2,3 м; 
= 12,5 м; M = 8 кН × м; P = 11 кН; q = 13 кН/м;R = 160 МПа.
Решение.Покажем и вычислим реакции опор (рис. 5, б):
RD (а +b +d)-Pа -qb(а +b /2)-M = 0;
RD (3+4,2+3)-11 × 3-13×4,2×5,1-8 = 0;RD= 31,32 кH.
RA (а +b +d )-P(b +d )-qb(d +b / 2)+M = 0;
RA (3+4,2+3)-11×(4,2+3)-13×4,2×5,1+8 = 0;RA= 34,28 кH.
Проверка реакций опор: 
RA-P-qb+RD = 0;34,28-11-13×4,2+31,32=65,6-65,6 = 0.
Реакции опор найдены верно.
Вычисляем значения Q и M на участках.
●Участок AB: z1Î[0;3];Q(z1) = RA;Q(z1) = 34,28 кН;
М(z1) = RAz1; М(z1) = 34,28 z1; М(0) = 0;М(3) = 102,84кН × м.
Проверка: 
; 
.
●Участок BС: z2Î[0;4,2];Q(z2) = RA - P -qz2;Q(z2) = 34,28- 11-13z2;Q(0) = 23,28 кН;
Q(4,2) =-31,32 кН;Q(z2) = 0при z2= (34,28-11)/13 = 1,79 м;
М(z2) = RA (а +z2)- Pz2 -qz2 z2/2;М(z2) = 34,28(3+z2)- 11z2-13z2 z2/2;
М(0) = 102,84кН × м;М(1,79) = 123,68кН × м;М(4,2) = 85,96кН × м.
Проверка: 
; 
.
●Участок СD: z3Î[0;3];Q(z3) = -RD;Q(z3) = -31,32 кН;
М(z3) = RDz3- М;М(z3) = 31,32z3-8;М(3) = 85,96кН×м;М(0) = -8кН×м.
Проверка: 
; 
.
●Участок DE: z4Î[0; 2,3];Q(z4) = 0;М(z4) = -М;М(z4) = -8кН × м.
По найденным значениям строим эпюры Q и M(рис. 5, в).
Подбор сечения. Для балки постоянного сечения опасным является сечение, в котором действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент. В нашем случае это место находится на расстоянии4,79 м от левой опоры и Мmax= 123,68 кН × м.
Из условия прочности определяем требуемый момент сопротивления и подбираем номер двутавра:
Wx=Mmax /R= 123,68 × 1000 : 160 = 773 см3.
В соответствии с ГОСТ 8239–89, принимаем двутавр № 36, Wx= 743см3. Перегрузка составляет 4 %, что меньше 5 %.
Задача 6
