Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений.

Рассмотрим применение формул Крамера к решению систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Решение. Вычислим определитель системы и определители _х и _у:

Найдем значение х и у по формуле Крамера:

Итак, решение системы есть (3:-1).

72. Решите систему уравнений

Решение. Вычислим определитель системы и определители _х и _у:

Так как =0, а _х≠0, _у≠0, то система не имеет решений (уравнения противоречивы).

73. решить систему уравнений

Решение. Находим

Данная система имеет бесчисленное множество решений (коэффициенты при неизвестных пропорциональны).

74. Решить систему уравнений

Решение. Вычислим определить системы и определители при неизвестных:

Найдем значения x, y, z по формулам Крамера.

Итак, получаем ответ: (1;-1;2).

Тема 3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1. Умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число;

2. Сложение и вычисление уравнений;

3. Перестановку уравнений системы;

4. Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободных членов равны нулю.

Используя метод Гаусса, решить систему уравнений.

Решение. Переставим третье уравнение на место первого:

Запишем расширенную матрицу:

Что бы в 1-м столбце получить а21=а31=0, умножим 1-ю строку на 3, а затем на 2 вычтем результаты из 2-й и 3-й строк:

Разделим 20-ю строку на 8, полученные результаты умножим на 3 и вычтем из 3-й строки:

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:

Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подставок находим неизвестные:

Итак, получаем ответ: (1; 2: 3).

Тема 4. Дифференцирование

а) Найти экстремумы функции

б) наибольшее и наименьшее значение функции [-1;3]

Решение.

1. Найти y^|: y^|=x³+3x²+2x;

y^|=0;

x³+x²+2x=0;

x(x²+3x+2)=0; т.е. x₁=-1; x₂=0; x₃=-2 – критические точки.

2. Найти y^|| : y^||=3x²+6x+2

Найти значение y^|| при критических точках

y_min (-2)=4; т.к. y^||=(-2)>0 т.е. функция имеет min;

y_max(-1)=17/4;т.к. y^||=(-1)<0 т.е. функция имеет max;

y_min (0)=4; т.к. y^||=(0)>0 т.е. функция имеет min;

б) Для нахождения наибольшего или наименьшего значения находят критические точки, принадлежащие отрезку [-1;3], значения f(x) при этих критических точках и на концах отрезка; среди найденных значений выбирают f наибольшее и f наименьшее.

1. y^|= x³+3x²+2x=0;

Î[-1;3]

x₁=0

x₂=-1

Найдем

f наибольшее (3)=60,25

f наименьшее (0)= 4

Примеры решения по теме 5: Интегральные исчисления

а) Вычислить

Данный интеграл вычисляется методом замены переменной.

Решение:

Проведем дифференцирование:

– подынтегральная функция

б) Вычислить

Решение: интеграл вычисляется по частям:

r w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Аналогично можно проверить. Что произведение полученной функции равно подынтегральной функции, т.е интеграл вычислен правильно.

в) Вычислить

Решение.

При вычислении переделенного интеграла используются такие же методы что и неопределенного. Но затем пользуются формулой Ньютона- Лейбница:

г) Найти площадь фигуры : у=х²-2х – парабола с вершиной в точке (1;-1), ветви вверх точка пересечения с осью ОХ : (0;0); (2;0)

s=s₁+s₂;

Тема: Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа a+bi; {a,b}ªR, i- мнимая единица, i²=-1

Сложение:

z₁+z₂=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i

Вычитание:

z₁-z₂ =(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

(5+4i)-(2-3i)=(5-2)+(4+3)i=3+7i

Умножение:

z₁*z₂=(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi) на (c+di) умножаем по правилам действий над многочленами.

(1+2i)(3-i)=3*1-1*i+6i-2i²=3+2-i+6i=5+5i

Деление: на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражении, сопряженное знаменателю:

Возведение в степень мнимой единицы:

i¹=i;

i²=-1;

i³=i²*i=-1*i=-i;

i⁴=i² *i²=(-1)(-1)=1;

i⁵=i³*i²=-i(-1)=i;

i⁶=i⁵*i=i*i=-1=i²;…

Видим закономерность:

i^(4n+r)=(i⁴)ⁿ*i^r=(1)ⁿ*i^r=i^r

Получаем:

i^4m=1;

i^4m+1=i;

i^4m+2=-1;

i^4m+3=-i;

i²¹⁸=i^4*54+2=i²=-1.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами:

z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a;

z*z=(a+bi)(a-bi)=a²+b².

Каждому комплексному числу z=a+bi можно поставить в соответствие точку M(a;b) координатной плоской, абсцисса которой равна действительной части комплексной части комплексного числа, а ордината - мнимой части. (рис. )

Рис.

Важной и удобной является интерпретация комплексного числа a+bi как радиус - вектора OM, т.е. вектора, исходящего из начала координат O(0,0) и идущего в точку M(a;b). Разумеется , вместо радиус вектора OM можно взять любой равный ему вектор. Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними . При сложении чисел z₁=a+bi и z₂=c+di складываются их действительные и мнимые части . При сложении соответствующих им векторов OM₁ и OM₂ складываются их координаты:

числу z₁+z₂ соответствует вектор OM₁+OM₂,

числу z₁-z₂ – вектор OM₁ – OM₂.

Модулем комплексного числа z₁=a+bi называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов его действительной части и коэффициента при мнимой единице:

Аргументом комплексного числа z₁=a+bi называется радианная мера угла φ, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси 0≤φ<2π,

arg z=φ

Величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.

Возьмем на плоскости точку М(a,b), пусть ей соответствует комплексное число z₁=a+bi. Обозначим через φ угол, который образует радиус – вектор OM с положительным направлением оси OX.

Тригонометрическая форма комплексного числа r(cosφ+ isinφ), показательная форма re^φi

Действия в показательной форме:

- формула Муавра.

Аналогично в тригонометрической форме:

Пример.