Равновесие тела при наличии трения скольжения

Если два тела I и II взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию , действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I, можно разложить на две составляющие: , направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А и , лежащую в касательной плоскости. Составляющая называется нормальной реакцией, сила называется силой трения – она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с аксиомой 4 (третьим законом Ньютона) на тело II со стороны тела I действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления. Как было сказано выше, сила трения , если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты, и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.

Для выяснения основных свойств сил трения проведем опыт по схеме, представленной на рис. К телу В, находящемуся на неподвижной плите D, присоединена перекинутая через блок С нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой А. Если площадку А постепенно нагружать, то с увеличением ее общего веса будет возрастать натяжение нити S, которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения будет удерживать тело В в покое. На рис. изображены действующие на тело В силы, причем через обозначена сила тяжести, а через – нормальная реакция плиты D.

Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справедливы следующие уравнения равновесия:

, (6.1)

. (6.2)

Отсюда следует, что и . Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натяжения нити . Обозначим через силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело В теряет равновесие и начинает скользить по плите D. Следовательно, если тело находится в равновесии, то

. (6.3)

Максимальная сила трения зависит от свойств материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от характера обработки поверхности), а также от величины нормального давления . Как показывает опыт, максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т.е. имеет место равенство

. (6.4.)

Это соотношение носит название закона Амонтона – Кулона.

Безразмерный коэффициент называется коэффициентом трения скольжения. Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавливаются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах.

Неравенство (6.3) можно теперь записать в виде

. (6.5)

Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальному значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.

Задача 6.1.Тяжелая плита АВ веса , длины l опирается на идеально гладкую стену ОВ и шероховатый пол ОА. Определить, при каких углах наклона плиты возможно ее равновесие, если коэффициент трения плиты и пола равен . Составим уравнение равновесия:

,

,

.

Кроме того, в соответствии с условием (6.5) должно быть

.

Решая уравнения, получим

, .

Следовательно,

.

Последнее неравенство и содержит решение задачи. Критическое значение угла определяется из уравнения

.

Определим теперь критическое значение угла с учетом трения плиту о стенку, если соответствующий коэффициент трения также равен .

Относящаяся к этому случаю силовая схема изображена на рис. В общем случае система является статически неопределимой, так как содержит четыре неизвестные реакции, а мы располагаем только тремя уравнениями равновесия (при заданном угле нельзя найти силы трения и нормальные давления). Однако в критическом состоянии силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям, и это позволяет решить задачу. Для этого состояния имеем два уравнения для сил трения

,

и три уравнения равновесия

, , .

,

, ,

, .

Подчеркнем, что последние четыре выражения относятся только к критическому состоянию, но если

, ,

то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).

Задача 6.2.На шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтальной плоскостью, находится тело весом . Тело удерживается на плоскости тросом АВ, весом которого можно пренебречь. Определить силу трения Т между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса S при двух значениях коэффициента трения: и .

Решение. На тело действуют четыре силы: активная сила тяжести , сила трения , нормальная составляющая реакции плоскости и реакция троса . Составим уравнения равновесия тела:

,

,

.

Отсюда найдем:

,

или, учитывая условия задачи,

, .

Для первого случая будем иметь: . При отсутствии троса получим . Так как при этом условие не нарушается, то это означает, что при тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения .

Пусть теперь . Тогда должно выполняться условие . При отсутствии троса это неравенство находится в противоречии с первым уравнением . Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при сила трения достигает своего максимального значения , а натяжение троса будет .

Итак,

при : , ;

при : , .

Задача 6.3.К однородной прямоугольной призме веса , находящейся на горизонтальной поверхности, прислонена под углом однородная балка веса и длины . Коэффициент трения между балкой и плоскостью равен , а между призмой и плоскостью . Пренебрегая силами трения между балкой и призмой и поперечными размерами балки, определить:

• условия равновесия всей системы;
• условия, при которых призма остается в покое, а балка начнет двигаться;
• условия, при которых конец балки остается в покое, а призма начнет скользить по плоскости влево или опрокидываться вокруг ребра .

Решение.Расчленим систему и изобразим все силы(активные и реакции связей), действующие на призму и балку. На призму действуют сила тяжести , сила давления плоскости балки на призму, равнодействующая сил нормального давления плоскости , приложенная в некоторой точке D, и сила трения . На балку действуют сила тяжести , сила давления призмы на балку, нормальная составляющая реакции плоскости и сила трения . Конечно, модули сил и равны между собой (аксиома 4).

Будем считать вначале, что вся система находится в покое, и составим условия равновесия балки:

,

,

,

.

Из уравнений находим

, , .

Внеся значения и в неравенство, получим условия равновесия балки:

.

Составим теперь условия равновесия призмы:

,

,

,

.

Из уравнений находим

, , .

Число нам неизвестно, но его можно найти из равенства , или

;

отсюда

.

Так как точка приложения силы не может находиться левее точки , то , или

,

что дает нам еще одно условие равновесия:

.

Это неравенство равносильно требованию, чтобы под действием силы призма не опрокинулась вокруг ребра (его можно получить из условия, чтобы момент силы относительно точки не превосходил по модулю момента силы относительно той же точки).

Потребуем теперь, чтобы призма не скользила по плоскости, т.е. чтобы выполнялось неравенство

.

Имеем: , . Подставляя это в написанное выше неравенство, получаем

.

Таким образом, вся система будет находиться в покое, если угол удовлетворяет трем условиям:

, , . (6.6)

Если будет нарушено только первое из этих неравенств:

, , ,

призма останется в покое, а балка начнет двигаться.

Если будет нарушено только второе условие:

, , ,

точка балки останется в покое, а призма начнет опрокидываться вокруг ребра .

Наконец, если будет нарушено только третье условие (6.6):

, , .

точка баки снова останется в покое, но призма начнет скользить по плоскости влево.

Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. показана предельная реакция и ее составляющие и

(в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения направлена влево). Угол между предельной реакцией и нормалью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. имеем

,

или, пользуясь выражением (6.4)

. (6.7)

Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задать угол трения (в справочных таблицах приводятся обе величины).

В зависимости от действия активных сил направление предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции образует коническую поверхность – конус трения. Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то согласно формуле (6.7) конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения зависит от направления возможного движения, конус трения не будет круговым.

Рассмотрим теперь случай, когда активные силы, действующие на тело, приводятся к одной равнодействующей , составляющей угол с нормалью к поверхности. Такая сила оказывает двоякое действие: во-первых, ее нормальная составляющая определяет нормальную составляющую реакции поверхности и, следовательно, предельную силу трения , а во-вторых, ее касательная составляющая стремится эту силу преодолеть. Если увеличивать модуль силы , то пропорционально будут возрастать обе составляющие. Отсюда можно заключить, что состояние покоя или движения тела не зависит от модуля силы и определяется только углом – чем меньше этот угол, тем меньше тенденция к нарушению равновесия.

Для аналитического решения задачи составим уравнения равновесия тела:

,

,

.

Из уравнений найдем , и, подставляя их в неравенство, получим

,

или, учитывая , (6.7), . Следовательно, при равновесии тела

.

Это означает, что если равнодействующая активных сил находится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя нарушить равновесие тела: для того, чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил находилась вне конуса трения.

Задача 6.4.Найти условие, определяющее размер самотормозящегося механизма, изображенного на рис. Необходимо, чтобы приложенная к узлу С сила не могла вызвать скольжения ползунов А и В по вертикальным направляющим. Коэффициент трения , расстояние между направляющими м.

Решение. Сила вызывает сжатие наклонных стержней, и последние передают на ползуны силы давления под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Для того чтобы скольжение отсутствовало, ось каждого стержня должна располагаться внутри соответствующего конуса трения. А это имеет место при выполнении условия

.

Но , поэтому м.

Рассмотрим теперь трение гибких тел. Пусть трос охватывает неподвижный круглый цилиндр. Требуется определить силу натяжения троса , достаточную для уравновешивания силы , приложенной ко второму концу троса, если между тросом и цилиндром имеется трение.

Опыт показывает, что благодаря трению сила может быть во много раз меньше, чем сила . Эта задача будет статически определена лишь в том случае (представляющем наибольший интерес), когда рассматривается критическое состояние и силы трения пропорциональны нормальным давлениям. Речь идет о критическом состоянии, в котором сила уже способна вызвать скольжение троса по неподвижному цилиндру (по ходу часовой стрелки).

Нормальное давление и сила трения непрерывно распределены по всей длине охвата . Обозначим через и значения этих сил, отнесенных к единице длины троса. Эти силы, конечно, являются функциями полярного угла , определяющего положение элемента, т.е. , . Натяжение троса в любой его точке на цилиндре также является функцией , т.е. .

Выделим элемент троса длины . На этот элемент действуют две реакции шкива: и , а также две силы натяжения и , приложенные к рассматриваемому элементу в точках рассечения.

Пренебрегая весом троса, запишем условия равновесия выделенного элемента троса, спроектировав силы на направления нормали и касательной , взятые в середине элемента:

,

.

При составлении этих уравнений мы воспользовались малостью угла и положили

, .

Подставляя в уравнения равновесия вместо и их значения

, ,

получаем

,

.

Первое из этих уравнений дает , а так как , то первое уравнение можно переписать в виде

,

или

.

Выполняя интегрирование в пределах от до , находим

.

Здесь – натяжение в сечении , т.е величина силы , – натяжение в сечении , т.е величина силы . Следовательно,

(6.8) и окончательно,

. (6.9) Эта формула (формула Эйлера) позволяет найти наименьшую силу , способную уравновесить силу .

Можно поставить обратный вопрос: при каком значении наступит скольжение троса против хода часовой стрелки, т.е. какая сила способна преодолеть сопротивление трения вместе с силой ? Для ответа на этот вопрос нет необходимости заново повторять все выкладки: они останутся прежними с тем единственным различием, что сила трения на рис. изменит свое направление. Поэтому в окончательном результате, изменяя знак при коэффициенте трения, получаем

. (6.10)

Таким образом, если сила удовлетворяет неравенствам

, то трос будет находиться в равновесии.

Задача 6.5.Найти угол охвата цилиндра тросом, необходимый для того, чтобы удержать силой кН груз весом кН, если коэффициент трения .

Решение. По формуле (6.8) имеем ; отсюда , т.е. несколько меньше двух полных охватов.

Задача 6.6.К концу троса подвешен груз весом кН; угол охвата цилиндра тросом . Найти силу, необходимую для подъема груза, если коэффициент трения .

Решение. В данном случае нужно воспользоваться формулой (6.10)

кН.

Сопоставляя этот результат с полученным в задаче 6.5, заключаем, что трос будет находиться в равновесии, если . При кН начинается движение в сторону силы , а при кН – в сторону силы .

Задача 6.7.При причаливании (швартовке) судна матрос удерживает его с помощью каната, накинутого в форме восьмерки на причальные тумбы (кнехты), причем один конец каната А укреплен на судне, а второй конец каната В находится в руках у матроса. Считая, что угол охвата каждой тумбы равен , определить какое максимальное усилие судна может выдержать матрос, прикладывая силу при одной, двух и трех уложенных канатных восьмерках, если коэффициент трения между канатом и причальными тумбами равен .

Решение.При одной восьмерке общий угол охвата , при двух восьмерках – , при трех восьмерках – . Применяя формулу (6.10), получаем

, ,

Таким образом, при трех уложенных восьмерках за счет сил трения между канатом и причальными тумбами один матрос может удержать судно, развивающее усилие в 264000 кН, т.е. в 528 раз больше силы, прикладываемой матросом.