Скалярное произведение векторов

57.Определить угол между векторами и .

58. На плоскости дан треугольник с вершинами О(0; 0), А(2a; 0) и В(a; –a). Найти угол, образованный стороной ОВ и медианой ОМ этого треугольника.

59. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между ними.

60. Даны векторы и . Определить и .

61. Вычислить: 1) , если и — единичные векторы с углом между ними 30°; 2) , если , b = 4 и угол °.

62. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где и – единичные векторы, угол между которыми 60°.

63. В треугольнике с вершинами А(–2; 0). В(6; 6) и С(1; –4) определить длину биссектрисы АЕ.

64. Вершины треугольника находятся в точках А(–8; –1; –4), В(–7; 3; 4) и С(8; –3; 4). Найти координаты центра тяжести треугольника, величину угла А и направляющие косинусы биссектрисы угла А.

65. Определить углы треугольника АВС с вершинами А(2; –1; 3), В(1; 1; 1) и С(0; 0; 5).

66. Даны векторы и , причем a = 2, b = 4, а угол °. Определить угол между медианой треугольника АОВ и стороной .

67. Из вершины прямоугольника со сторонами 6см и 4см проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол jмежду ними.

68. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(–3; –2; 0), В(3; –3; 1) и С(5; 0; 2). Найти его четвертую вершину D и угол между векторами .

69. Даны точки А(3; 3; –2), В(0; –3; 4), С(0; –3; 0) и D(0; 2; –4). Построить векторы и и найти .

70. В равнобедренной трапеции ОАСВ (рис. 2) М и N – середины сторон ВС = 2 и АС = 2. Острый угол трапеции 60°. Определить угол между векторами .

71. Проекции перемещения движущейся точки на оси координат s_x = 2, s_y = 1, s_z = –2м. Проекции действующей силы на оси координат равны F_x = 5H, F_y = 4H, и F_z = 3H. Вычислить работу А силы (A = ) и угол между силой и перемещением .

§6. Векторное и смешанное произведения векторов

72. Векторы образуют угол . Зная, что , вычислить .

73. Даны . Вычислить .

74. Даны векторы . Найти координаты векторных произведений: 1) , 2) , 3) .

75. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(7; 3; 4), B(1; 0; 6) и C(4; 5; -2).

76. Сила = {3; 2; -4} приложена к точке A(2; -1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат.[1]

77. Векторы , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что , вычислить .

78. Даны три вектора: . Вычислить .

79. Сила приложена к точке C(2; -1; -2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

80. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A(2; -1; 1), B(5; 5; 4), C(3; 2; -1) и D(4; 1; 3).

81. Даны . Вычислить .

82. Векторы образуют угол . Зная, что вычислить: 1) , 2) , 3) .

83. Даны точки A(2; -1; 2), B(1; 2; -1) и C(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений: 1) ; 2) .

84. Дан треугольник с вершинами A(1; -2; 8), B(0; 0; 4) и C(6; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту BD.

85. Сила приложена к точке M₀(4; -2; 3). Определить момент этой силы относительно точки A(3; 2; -1).

86. Сила приложена к точке A(4; 2; -3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки C(2; 4; 0).

87. Вектор перпендикулярен к векторам , угол между равен 30°. Зная что , вычислить .

88. Установить, компланарны ли векторы , если:

1) ;

2) ;

3) .

89. Даны вершины тетраэдра: A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

§7. Плоскость и прямая в пространстве

90. Точка Р(2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

91. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(3; 4; -5) параллельно двум векторам .

92. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁(3; -1; 2), M₂(4; -1; -1), и M₃(2; 0; 2).

93. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x - 3y + 2z - 3 = 0.

94. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(2; -1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям: 2x - z + 1 = 0, y = 0.

95. Две грани куба лежат на плоскостях 2x - 2y + z - 1 = 0, 2x - 2y + z + 5 = 0. Вычислить объем этого куба.

96. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M₁(2; 3; -5) параллельно прямой

97. составить уравнения прямой, проходящей через точку M₀(2; -3; -5) перпендикулярно к плоскости 6x - 3y - 5z + 2 = 0.

98. Даны две точки M₁(3; -1; 2) и M₂(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ перпендикулярно вектору .

99. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(2; -1; 3) и M₂(3; 1; 2) параллельно вектору .

100. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(3; -2; -7) параллельно плоскости 2x - 3z + 5 = 0.

101. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки M₁(1; -1; -2) и M₂(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости x - 2y + 3z - 5 = 0.

102. Установить, что три плоскости x - 2y + z - 7 = 0, 2x + y - z + 2 = 0, x - 3y + 2z - 11 = 0 имеют одну общую точку и вычислить ее координаты.

103. Вычислить расстояние d от точки P(-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через три точки M₁(1; -1; 1), M₂(-2; 1; 3) и M₃(4; -5; -2).

104. Даны прямые: . при каком значении l они пересекаются?

105. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1; -2; 1) перпендикулярно к прямой

106. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку M₁(-4; -5; 3) и пересекает две прямые: