Классические первая и вторая теоремы Н.И. Боголюбова – Н.М. Крылова с формулировкой условий в терминах топологического индекса.
Теория топологического индекса вполне непрерывных операторов.
Через обозначается открытое ограниченное множество банаховапространства . Через – егограница и замыкание соответственно. Всюду ниже – вполне непрерывный оператор.
1.1. Допустимые гомотопии. Два вполне непрерывных оператора
называются гомотопными, если существует вполне непрерывный по совокупности переменных оператор , такой что , и не имеет неподвижных точек на при .
Гомотопия называется линейной, если она задается формулой:
.
1.2. Индекс множества неподвижных точек вполне непрерывного оператора. Если вполне непрерывный оператор не имеет неподвижных точек на границе , то определена целочисленная характеристика, называемая индексом множества неподвижных точек оператора и обозначаемая , со следующими свойствами:
1 . Индексы гомотопных вполне непрерывных операторов совпадают.
2 Пусть , попарно непересекающиеся открытые подмножества не имеют неподвижных точек в Тогда величины определены для всех i, только дляконечного числа из них отличны он нуля и
3 . Если
4 Если то оператор имеет по крайней мере одну неподвижную точку в
Если изолированная неподвижная точка оператора т.е. в некотором шаре у оператора нет других неподвижных точек, то индексом называют величину , при .
Индексом точки обозначают .
1.3. Теорема о сужении. Пусть L замкнутое выпуклое подмножество пространства E и
Не имеет неподвижный точек на . Тогда
1.4. Теорема о вычислении индекса по линейной части. Пусть вполне непрерывный оператор F, действующий в банаховом пространстве E, определен в некоторой окрестности своей неподвижной точки и дифференцируем по Фреше в точке . Пусть 1 не является собственным значением линейного оператора
Тогда является изолированной неподвижной точкой оператора F и , где β-сумма кратностей вещественных больших единицы собственных значений оператора
Классические первая и вторая теоремы Н.И. Боголюбова – Н.М. Крылова с формулировкой условий в терминах топологического индекса.
Опишем обобщения классических теорем Н.И. Боголюбова – Н.М. Крылова (см. (3)), получающиеся при применении теории топологического индекса.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
,
(1)
где -положительный параметр. Предположим, что
(2)
Принцип усреднения заключается в оценке близости решений системы (1) к решениям обычно более простой автономной системы
(3)
где
(4)
Рассмотрим задачу Коши. Пусть решения и систем (1) и (3) удовлетворяют одинаковому начальному условию
(5)
(6)
Перед формулировкой теоремы напомним, интегральной воронкой решений системы дифференциальных уравнений называют множество ее решений, удовлетворяющих одному и тому же начальному условию.
2.1. Теорема. Пусть оператор непрерывен по совокупности переменных и интегральная воронка системы (3) с начальным условием (6) при ограничена на отрезке .
Тогда каждому соответствует такое , что при на отрезке интегральная воронка ограничена и для любого решения системы (1) с начальным условием (5) существует решение системы (3) с начальным условием (6) такое, что
(7)
Когда интегральная воронка задачи (3),(6) при состоит из одного решения, то теорема 2.1 превращается в следующее утверждение.
2.2 Следствие. Пусть оператор непрерывен по совокупности переменных и система (3) с начальным условием (6) при имеет единственное решение на отрезке .
Тогда каждому соответствует такое , что при верна оценка
(8)
2.3. Замечание. В теореме 2.1.1 и следствии 2.1.2 требование непрерывности оператора можно заменить менее ограничительным требованием непрерывности лишь на
(9)
Где - некоторая окрестность множества
.
2.4. Замечание. Аналогичные теоремы 2.1 и следствие 2.2 утверждения можно доказать и когда правая часть системы (1) не обладает свойством T-периодичности по времени (т.е., когда неверны тождества (2)). В этом случае вместо оператора , определяемого равенством (4), используется оператор
(10)
При этом предполагается, что среднее (10) существует, и предел (10), равномерен относительно из каждого фиксированного шара, а - равномерно непрерывен и ограничен на множестве (9).
Перейдем к задаче о T- периодических решениях системы (1) и к обсуждению возможностей приближенного построения этих решений при помощи системы (3). Предположим, что для некоторого ограниченного открытого множества векторное поле - не имеет нулевых точек на границе . Тогда определен .
2.5. Теорема. Пусть .
Тогда существует такое , что при система (1) имеет по крайней мере одно T – периодическое решение , для которого справедливо соотношение . Причем для любой последовательности , сходящейся к нулю, последовательность решений вполне ограничена и ее предельными точками могут быть только состояния равновесия системы (3), лежащие в .
Важным случаем является ситуация, когда состояние равновесия системы (3) изолировано. Тогда определен индекс множества
нулевых точек векторного поля - в пространстве на шарах малых радиусов с центром в ., т.е. .
2.6. Следствие. Пусть .– изолированный нуль векторного поля , причем выполнено условие
(11)
Тогда каждому r>0 соответствует такое >0, что при система (1) имеет по крайней мере одно Т- периодическое решение , для которого справедлива оценка
(12)
Через А обозначается следующая матрица
(13)
2.7. Следствие. Пусть .– нуль векторного поля , причём выполнено условие
(14)
Тогда каждому r>0 соответствует такое >0, что при система (1) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение , для которого справедлива оценка (12).