Наличие нейтрального элемента

нейтральный элемент

то есть элемент e не зависит от выбора a.

Примеры:

Для бинарной операции ( нейтральным элементом является нуль, т.е. ;
Для бинарной операции ( нейтральным элементом является единица, т.е. ;

Утверждение. Нейтральный элемент единственен.

Доказывается от противного.
⧠пусть существуют два нейтральных элемента .

Умножим сначала элемент на первый нейтральный элемент ,

потом наоборот элемент на второй нейтральный элемент :

Наличие симметричного элемента

симметричныйему элемент : ,
то есть для каждого a существует свой симметричный.

Для сложения – противоположный элемент.

Для умножения – обратный элемент.

Note. Если бинарная операция односторонняя, то вводят понятие одностороннего нейтрального элемента и одностороннего симметричного элемента.

правосторонний нейтральный

левосторонний симметричный

Для алгебраической операции при выполнении условий 3) и 4) можно определить обратную операцию , положив

Для операции сложения условия 3) и 4) выполняются на множествах .

Поэтому, для операции сложения можно определить операцию вычитания,

как сумму с числом противоположным .

· На множестве N операцию вычитания определить нельзя

(нет нуля и нет противоположного элемента).

Для операции умножения условия 3) и 4) выполняются на множествах отличных от нуля рациональных и действительных чисел.

Следовательно, на множествах можно определить обратную к умножению операцию деления как произведение числа a на число, обратное к b.

· На множестве целых чисел Z обратную умножению операцию деления определить нельзя (результат деления может не быть целым числом).

Таким образом, вычитание определено на множествах ,

а деление на множествах .

Дистрибутивность.

Рассмотрим множество (Е, с двумя бинарными операциями

Операция дистрибутивна относительно операции

если она дистрибутивна

справа и слева

(R,+, )двусторонняя дистрибутивность относительно (+)	(R, )(+) не дистрибутивная операцияотносительно

Дистрибутивность может быть односторонней.

(R, ,^ ) (^) дистрибутивная операция справа относительно (	(R, ,^ ) (^) не дистрибутивная операция слева относительно (
или	≠ или

Группы, кольца, поля

· Множество (Е, с одной бинарной операцией называется полугруппой(моноидом), если эта операция обладает свойством ассоциативности.

Пример полугруппы ( , +), ( , )

· Множество G с одной бинарной операцией называется группой,если

1) операцией в G ассоциативна;

2) нейтральный элемент

3) симметричный ему элемент :

· Если операция коммутативна, то группаназываетсякоммутативной или абелевой, противном случае - некоммутативной.

Относительно операции сложения группами являются множества Z, Q, R.

Относительно операции умножения группами являются множества отличных от нуля рациональных и действительных чисел.

В группах по сложению нейтральный элемент называется нулевым ( или просто 0 ), а симметричный элемент – противоположным .

В группах по умножению нейтральный элемент называется единичным
(или просто1), а симметричный элемент

Утверждение. Для каждого элемента группы существует единственный симметричный элемент.

Доказывается от противного, с помощью ассоциативности.

Пусть два симметричных ему элемента :

· Множество (K, с двумя бинарными операциями называется кольцом,если

по сложению (I) множество (K, – абелева группа, а

операция умножения (II) дистрибутивна относительно сложения (I).

Или более подробно

· Множество (K, с двумя бинарными операциями называется кольцом, если

сложение

1) ассоциативно,

2) коммутативно,

3) нейтральный элемент

4) противоположный ему :

5) умножение дистрибутивно относительно сложения.

Требования 1-4 образуют аддитивную группу кольца

6) Если в кольце умножение ассоциативно, то такое кольцо называют ассоциативным.

7) Если в кольце умножение коммутативно, то такое кольцо называют коммутативным.

8) Если в кольце относительно умножения существует нейтральный элемент, то такое кольцо называют кольцом с единицей.

В кольце определены три операции: сложение, умножение и вычитание.

Примеры колец (Z, +, , (Q, +, , (R, +, . Причем все кольца ассоциативные, коммутативные с единицей.

· Множество (П, +, с двумя бинарными операциями сложением и умножением называется полем, если

1) (П, +, – ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов.

2) отличного нуля
обратный элемент : относительно умножения

· Поле есть кольцо, в котором отличные от нуля элементы образуют коммутативную группу. Эта группа носит название мультипликативой группы поля.

В поле определены 4 операции: сложение, умножение, вычитание и деление.

Примеры полей (Q, +, , (R, +,

Поле комплексных чисел

Комплексным числом называется упорядоченная пара вещественных чисел.

называются равными

Введем две операции на множестве :

(I) + = =( )

(II) = ( )

Можно доказать, что ─ поле.