Практичне заняття 18. статистичні гіпотези

1. Перевірка правильності нульової гіпотези про значення генеральної середньої.

Приклад. Розбіжність вимірів діаметрів кульок X = x_i є випадковою величиною, що має закон розподілу N(a; 4). При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність гіпотези мм, якщо альтернативна гіпотеза мм, коли відомо, що = 4 мм і вибіркове середнє значення виміряних у 100 однотипних кульок = 225 мм.

Розв’язання. Оскільки мм, будується правобічна критична область. Для цього необхідно знайти критичну точку і побудувати правобічну критичну область. Для знаходження критичної точки застосовуємо відомий вираз:

.

За значенням і скориставшись таблицею знаходимо . Отже, правобічна критична область матиме вигляд, зображений на рис. 126.

Рис. 126

Обчислимо спостережуване значення критерію за формулою (451) . Оскільки = 225 мм, а = 240 мм, мм, n = 100, маємо

Висновок. Оскільки , то немає підстав для відхилення нульової гіпотези 240 мм.

Отже, нульова гіпотеза приймається.

Приклад. Проведено 10 незалежних експериментів над випадковою величиною Х, що має нормальний закон розподілу з невідомими значеннями а, s. Наслідки експериментів подано у вигляді статистичного ряду:

xi	2,5		–2,3	1,9	–2,1	2,4	2,3	–2,5	1,5	–1,7
ni

При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези , при альтернативній гіпотезі .

Розв’язання. Запишемо статистичний ряд у вигляді статистичного розподілу й обчислимо , :

xi	–2,5	–2,3	–2,1	–1,7	1,5	1,9		2,3	2,4	2,5
ni

.

. .

При альтернативній гіпотезі будується лівобічна критична область. Для цього необхідно знайти критичну точку, застосовуючи статистичний критерій (451). За таблицею (додаток 6) знаходимо значення

= .

Оскільки щільність ймовірностей для розподілу Стьюдента є парною, то .

Критична область показана на рис. 127.

Рис. 127

Обчислимо спостережуване значення критерію:

.

Висновок. Оскільки , то немає підстав відхилити .

Приклад. Реалізувавши вибірку з генеральної сукупності, ознака якої Х має нормальний закон розподілу, дістали статистичний розподіл:

xi
ni

При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези , якщо альтернативна гіпотеза .

Розв’язання. Обчислимо значення , :

.

.

. .

При альтернативній гіпотезі будуємо двобічну критичну область. Враховуючи, що s_Г є невідомою величиною, для побудови цієї області беремо статистичний критерій (452).

Оскільки критичні точки і симетричні відносно нуля і при цьому = – , знаходимо за таблицею (додаток 6) :

.

Тоді = – 2,7.

Двобічна критична область зображена на рис. 128.

Рис. 128

Обчислимо спостережуване значення критерію:

.

Висновок. Оскільки , то немає підстав приймати .

Приклад. З генеральної сукупності, ознака якої Х має закон розподілу N(a; 5), реалізована вибірка і побудовано статистичний розподіл:

xi	10,9		11,2	11,3	11,5	11,6	11,8	11,9
ni

При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

при альтернативній гіпотезі

.

Розв’язання. Обчислимо значення . Оскільки , то дістанемо

.

При альтернативній гіпотезі будується двобічна критична область. Враховуючи те, що відоме значення = 5, для знаходження критичних точок скористаємося статистичним критерієм , що має закон розподілу N(0; 1).

Критична точка визначається з рівності

.

За значенням функції Лапласа знаходимо = 2,58.

Оскільки = – , то маємо = – 2,58.

Двобічна критична область зображена на рис. 129.

Рис. 129

Обчислимо спостережуване значення критерію

.

Висновок. Оскільки , немає підстав відхиляти .

Приклад. Реалізувавши вибірку з генеральної сукупності, елементами якої є однотипні заготівки, довжина яких Х є випадковою величиною з нормальним законом розподілу, дістали статистичний розподіл:

xi	6,5	8,5	10,5	12,5	14,5	16,5
ni

Якщо рівень значущості a = 0,001, перевірити правильність при альтернативній гіпотезі .

Розв’язання. Обчислимо значення . Оскільки , то маємо

;

.

.

. .

Оскільки обсяг вибірки великий (n = 100 > 40), статистичний критерій наближатиметься до закону розподілу N(0; 1). Тому для визначення критичної точки застосовуємо рівність

.

Правобічна критична область матиме такий вигляд (рис. 130):

Рис. 130

Обчислимо спостережуване значення критерію

.

Висновок. Оскільки , то приймається.