Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши
ЗАДАНИЕ 1
(а) Разложить функцию 
в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(б) Разложить функцию 
в ряд Фурье по 
кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(в) Разложить функцию в ряд Фурье по 
кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
Решение:
(а)Построим график функции 
и ее периодического продолжения 
на всю ось (график 
выделен на рисунке жирной линией):
Имеем период 
. Тогда ряд Фурье имеет вид
График 
совпадает с графиком в точках непрерывности, а в точках разрыва 
:
Коэффициенты Фурье находим по формулам
Получаем
и, учитывая, что 
, находим
Итак, 
Находим
Итак, 
.
Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье (*), окончательно имеем:
(б)Разложим функцию 
, по синусам кратных дуг в ряд Фурье. Продолжим нечетным образом на отрезок 
, а потом периодически продолжим на всю ось:
Имеем период . Тогда ряд Фурье по синусам имеет вид
причем функция совпадает с продолженной функцией в точках непрерывности, а в точках разрыва имеем 
:
Находим 
:
Итак, 
.
Окончательно имеем
(в)Теперь разложим функцию , по косинусам кратных дуг в ряд Фурье. Продолжим эту функцию четным образом на отрезок , а потом периодически продолжим на всю ось, в качестве периода взяв :
Поскольку продолженная функция непрерывна на всей числовой прямой, то сумма ряда 
,а сам ряд имеет вид:
Находим коэффициенты 
:
Итак, 
Ряд Фурье имеет вид
ЗАДАНИЕ 2
Найти общее решение и решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям для квазилинейного уравнения первого порядка
Решение:
Для решения квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка относительно функции 
запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
Решаем эту систему сначала для одной пары, а потом для другой пары дифференциальных уравнений.
Рассмотрим другую пару
из полученного решения первой пары выражаем 
, а именно 
, и подставляем в это уравнение
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид 
, где 
- произвольная функция двух аргументов.
Имеем 
и общее решение 
.
Поскольку функция входит в один из аргументов функции , то можно выразить этот аргумент через другой с помощью произвольной функции одной переменной 
:
Это и есть общее решение.
Найдем вид функции из дополнительных условий 
. Тогда 
, то есть 
. Имеем частное решение 
или
Проверка:
Функция задана неявно.
. 
Тогда найдем
Подставим в исходное уравнение и получим тождество:
ЗАДАНИЕ 3
Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.
;
Решение:
Исходное уравнение представляет собой линейное однородное уравнение в частных производных второго порядка
где 
- искомая функция, 
.
Определяем тип уравнения:
то есть это уравнение гиперболического типа. Составляем характеристическое уравнение 
и решаем его.
Получаем две характеристики 
Переходим к новым переменным 
. Тогда
Подставим в исходное уравнение:
а значит, по условию
Получаем каноническое уравнение для гиперболического типа 
.
Решаем это уравнение.
где 
- произвольные функции. Заменяем и получаем общее решение 
.
Теперь решаем задачу Коши, то есть находим функции из начальных условий 
.
Решаем систему 
относительно 
.
Подставим в общее решение:
Получаем частное решение задачи Коши 
Проверка:
Найденная функция удовлетворяет условию задачи Коши:
т.е.
ЗАДАНИЕ 4
Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения:
  |   |
Решение:
Исходное уравнение является уравнением теплопроводности. Решаем задачу с нулевыми краевыми условиями и начальными условиями (смешанная задача), для чего используем метод разделения переменных (метод Фурье).
Ищем ненулевое решение в виде 
Разделяем переменные 
. Так как каждая дробь зависит только от одной переменной, то их равенство означает, что они постоянные:
Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Сначала решаем второе уравнение, которое должно удовлетворять краевым условиям 
так как
.
Это задача Штурма-Лиувилля: найти решение 
, удовлетворяющее уравнению 
и нулевым условиям 
Сначала считаем, что 
. Тогда
.
Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля 
. Находим собственные функции 
так как 
Поскольку 
- произвольная постоянная, 
возьмем 
Если взять 
, тогда 
Так как то 
Итак, получаем решение задачи Штурма-Лиувилля:
Для каждого значения решаем первое уравнение системы
Общее решение для первого уравнения имеет вид
где 
- произвольные постоянные. Таким образом, получено решение
для 
Будем искать общее решение исходного уравнения в виде ряда:
Потребуем, чтобы оно удовлетворяло начальным условиям
Получаем
Соотношение 
представляет разложение функции 
в ряд Фурье по косинусам с периодом 
.
Ищем коэффициенты Фурье 
:
Итак, найдены коэффициенты Фурье
Окончательно получаем решение смешанной задачи:
ЗАДАНИЕ 5
Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения (уравнения теплопроводности):
  |   |
Решение:
Исходное уравнение решаем методом разделения переменных (метод Фурье). Ищем ненулевое решение в виде
Разделяем переменные
Так как каждая дробь зависит только от одной переменной, то их равенство означает, что они – постоянные (обозначим ее 
):
Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Сначала решаем второе уравнение (с учетом преобразованного на языке 
граничного условия):
Получили задачу Штурма-Лиувилля.
Используем краевые условия для определения :
Так как 
(иначе функция станет тождественно равна нулю), то 
, а значит 
, и, следовательно, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля: 
. Коэффициент 
является постоянной ненулевой величиной, т.е. имеем права принять ее за 1.
Находим собственные функции
Решаем второе уравнение:
где 
– произвольные постоянные.
Итак, функции 
удовлетворяют краевым условиям для 
.
Ищем общее решение в виде ряда
Потребуем выполнение начального условия
Полученное соотношение есть разложение функции в ряд Фурье по синусам. Ищем коэффициенты Фурье этого разложения при 
Используя свойства ортогональности тригонометрической системы, получим, что 
, если 
, а если 
, то
Таким образом, частное решение получаем из бесконечного ряда, в котором все слагаемые равны нулю, кроме слагаемого с номером и коэффициентом 
:
.
ВАРИАНТ 1
ЗАДАНИЕ 1
(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(в) Разложить функцию 
в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
ЗАДАНИЕ 2
Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
ЗАДАНИЕ 3
Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.
;
ЗАДАНИЕ 4
Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.
  |   |
ЗАДАНИЕ 5
Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения
  |   |
ВАРИАНТ 2
ЗАДАНИЕ 1
(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
ЗАДАНИЕ 2
Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
; 
ЗАДАНИЕ 3
Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.
;
ЗАДАНИЕ 4
Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.
  |   |
ЗАДАНИЕ 5
Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.
  |   |
ВАРИАНТ 3
ЗАДАНИЕ 1
(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
ЗАДАНИЕ 2
Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
; 
ЗАДАНИЕ 3
Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.
; 
ЗАДАНИЕ 4
Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.
  |   |
ЗАДАНИЕ 5
Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.
  |   |
ВАРИАНТ 4
ЗАДАНИЕ 1
(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
ЗАДАНИЕ 2
Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
; 
ЗАДАНИЕ 3
Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.
; 
ЗАДАНИЕ 4
Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.
  |   |
ЗАДАНИЕ 5
Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.
  |   |
ВАРИАНТ 5
ЗАДАНИЕ 1
(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
ЗАДАНИЕ 2
Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
; 
ЗАДАНИЕ 3
Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.
;
ЗАДАНИЕ 4
Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.
  |   |
ЗАДАНИЕ 5
Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.
  |   |
ВАРИАНТ 6
ЗАДАНИЕ 1
(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
ЗАДАНИЕ 2
Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
;
ЗАДАНИЕ 3
Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.
; 
ЗАДАНИЕ 4
Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.
| |  |
ЗАДАНИЕ 5
Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.
| |  |
ВАРИАНТ 7
ЗАДАНИЕ 1
(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
ЗАДАНИЕ 2
Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
; 
ЗАДАНИЕ 3
Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.
;
ЗАДАНИЕ 4
Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.
 |   |
ЗАДАНИЕ 5
Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.
 |  |
ВАРИАНТ 8
ЗАДАНИЕ 1
(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.
ЗАДАНИЕ 2
Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
; 
ЗАДАНИЕ 3
Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.
; 
ЗАДАНИЕ 4
Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.
| |  |
ЗАДАНИЕ 5
Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.
| |  |