Линии влияния усилий в стержнях простейших ферм
Передача нагрузки на ферму производится в узлах-шарнирах; следовательно здесь имеет место случай узловой передачи нагрузки.
Рассмотрим следующие приемы построения линий влияния для ферм: 1) способ моментнойточки, 2) способ проекций.
Способ моментной точки.Построим линию влияния усилия в стержне 7—9 фермы, изображенной на рис. 13. Проведем разрез /—/, пересекающий три стержня.
Когда груз Р=1 находится правее узла 8 (движение груза происходит по верхнему поясу фермы), удобнее рассматривать равно весие левой отсеченной части фермы (рис. 13,б), так как на нее в этом случае действует меньше сил, чем на правую.
Применяя для определения усилия U79 способ моментнои точки, составим уравнение суммы моментов всех сил, действующих на левую часть фермы, относительно точки 6:
ΣM6=RA3d— U79h=0, откуда
U79=3RAd/h.
Таким образом, при положении груза Р= 1 на правой части фермы усилие U79 равно левой опорной реакции RA, Рис.13.
умноженной на постоянный коэффициент 3d / h. Одновременно
отмечаем, что 3RAd численно равно изгибающему моменту М°6 в простой балке для сечения с абсциссой, равной абсциссе моментной точки 6.
Линия влияния усилия U79 (когда груз Р=1 расположен правее узла 8) представляет собой линию влияния опорной реакции RA с ординатами, умноженными на 3d / h. Поэтому для ее построения отложим на оси отсчета вверх на левой опорной вертикали ординату, равную 3d / h, и соединим прямой ее вершину с нулевой точкой на правой опорной вертикали; в результате получим прямую a1b (рис. 13, г).
На построенную таким образом прямую, называемую правой прямой, сносим правые узлы фермы 8, 10, 12, 14 и 16. Заштриховываем линию влияния на участке между узлами 8 и 16.
При грузе Р=1, расположенном левее узла 6, усилие в стержне 7—9 может быть найдено из уравнения равновесия для правой части фермы
т. е. усилие в стержне 7—9 равно правой опорной реакции RB, увеличенной в 5d/ h раз. Произведение 5RBd численно равно изгибающему моменту М°6 простой балки для сечения с абсциссой, равной абсциссе моментнои точки 6.
Линия влияния U79 для груза, расположенного левее узла 6, строится следующим образом: от оси отсчета вверх на правой опорной вертикали откладывается ордината, равная 5d/ h, после чего еевершина соединяется с нулевой точкой на левой опорной вертикали (прямая b1 а на рис. 13, г). Построенная таким образом прямая носит название левой прямой; на эту прямую сносятся левые узлы фермы 1,2, 4 и 6. Заштриховываем линию влияния на участке между узлами 1 и 6.
Так как усилие U79 определяется формулой
то его линия влияния может быть получена из линии влияния изгибающего момента простой балки (для сечения, соответствующего вертикали, проходящей через моментную точку в ферме) умножением всех ее ординат на коэффициент 1/ h. Поэтому прямые b1 а и a1b (левая и правая), соединяющие вершины опорных ординат с нулевыми точками на противоположных опорах, пересекаются друг с другом под моментной точкой (в точке с). Передаточная прямая, (соответствующая движению груза Р=1 между узлами 6 и 8 рассеченной панели, в данном случае совпадает с продолжением правой прямой линии влияния.
Рассмотренный пример позволяет сформулировать порядок построения линий влияния усилий для элементов балочной фермы на двух опорах способом моментной точки:
1) при построении правой прямой следует отложить от оси отсчета на левой опорной вертикали (вверх или вниз, в зависимости от знака) ординату a/h, где а— расстояние от моментной точки до левой опорной вертикали, h — плечо определяемого усилия относительно моментной точки;
2) вершину опорной ординаты соединить с нулевой точкой на правой опорной вертикали;
3) на построенную таким образом правую прямую снести правые узлы фермы;
4) найти на правой прямой точку пересечения ее с левой прямой, для чего моментную точку снести на правую прямую;
5) точку пересечения правой и левой прямых соединить с нулевой точкой на левой опорной вертикали;
6) на построенную таким образом левую прямую снести левые узлы фермы;
7) вершины узловых ординат рассеченной панели соединить передаточной прямой.
Можно начинать построение линии влияния и с левой прямой. В этом случае на правой опорной вертикали откладывается от оси отсчета (вверх или вниз, в зависимости от знака) ордината b/h, где b — расстояние от моментной точки до правой опорной вертикали и h — плечо определяемого усилия относительно моментной точки. Затем через вершину отложенной таким образом ординаты и нулевую точку на левой опорной вертикали проводится левая прямая, после чего строятся правая и передаточная прямые.
Способ проекций.Построим линию влияния усилия в раскосе 6—9 фермы, изображенной на рис. 13, а.
Когда груз Р=1 расположен между узлами 8 и 16 (движение по верхнему поясу), рассматриваем равновесие левой отсеченной части фермы (рис. 13, б). Составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось:
ΣY=R A— D69 sin a=0, откуда
D69=RA/ sin a.
При грузе, расположенном между узлами 1 и 6, рассматриваем условие равновесия правой части фермы (рис. 13, в). Спроецировав все силы на вертикальную ось, получим
ΣY=R В +D69 sin а=0,
Откуда
Формулы для усилия D69 показывают, что пока груз расположен на правой части фермы, линия влияния D69 может быть получена умножением ординат линии влияния опорной реакции RA на постоянный коэффициент 1/sin а; когда же груз Р=1 находится в пределах левой части фермы, усилие D69 равняется опорной реакции RB, умноженной на (—1/sin а).
Для построения правой прямой откладываем от оси отсчета вверх на левой опорной вертикали ординату 1/sinа и соединяем ее вершину с нулевой точкой правой опорной вертикали (прямая a1b на рис.13, д). На построенную таким образом правую прямую сносим правые узлы: 8, 10, 12, 14 и 16.
Для построения левой прямой от оси отсчета на правой опорной вертикали откладываем вниз ординату 1/sin а, вершину которой соединяем с нулевой точкой левой опорной вертикали. На построенную левую прямую (прямая ab1 на рис. 13, д) сносим левые узлы: 1, 2, 4 и 6.
Передаточная прямая соединяет вершины узловых ординат рассеченной панели.
Заметим, что и в этом случае правая прямая пересекается с левой под моментной точкой. В самом деле, моментная точка для усилия D69 находится в бесконечности; там же пересекаются правая и левая прямые, параллельные между собой.
Линия влияния усилия D69имеет участки с положительными и отрицательными ординатами. Следовательно, стержень 6—9 при движении груза по ферме может быть как сжат, так и растянут.
Построим теперь линию влияния усилия в стойке 6—7 (рис. 13, а). В этом случае способ моментной точки неприменим, так как приходится рассекать ферму сечением, в которое попадают четыре стержня (сечение //—// или ///—///).
Лучше всего здесь воспользоваться способом вырезания узлов (рис. 13, е). Вырезав узел 7, составим для него уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось:
Так как груз Р= 1 к узлу 7 непосредственно не прикладывается (он движется по верху фермы), то полученная зависимость между усилиями V76 и U75 сохраняется при любом положении груза в пределах пролета фермы. Поэтому линия влияния V76 может быть получена из линии влияния U75 умножением всех ее ординат на (-sin β).
Но усилие U75 пока неизвестно; для определения его спроецируем силы, действующие на узел 7, на горизонтальную ось:
Этот результат можно получить и непосредственно из уравнения проекций сил, действующих на узел, на прямую, перпендикулярную элементу 7-5.
Таким образом, линия влияния V76 может быть получена из построенной ранее способом моментной точки линии влияния U79 умножением всех ее ординат на (—tg β). Построенная таким образом линия влияния V76 изображена на рис. 13, ж.
Построим линию влияния для стойки 8—9 (рис. 14, а). Здесь так же, как и в предыдущем случае, нельзя провести разрез, пересекающий только три стержня. Поэтому воспользуемся способом вырезания узлов.
Вырезав верхний узел 8 (рис. 14, а) и рассмотрев его равновесие, получим:
1) при нагрузке в любом узле, кроме 8 (рис. 14, б),
2) при нагрузке в узле 8 (рис. 14, в)
Откуда
Следовательно, когда груз Р =1 приложен в узлах 1, 2, 4, 6 или 10, 12, 14, 16, усилие V89=0; когда же груз Р = 1 приложен в узле 8, то V89=—1. Найдя ординаты в узловых Рис.14.
точках и соединив вершины их прямыми, получим линию
влияния V89 (рис. 14, г). Она имеет вид треугольника с наибольшей ординатой, равной единице. Отрицательный ее знак указывает на то, что стойка 8—9 работает только на сжатие.
Вопросы для самопроверки:
1. Понятие фермы. Классификация ферм.
2. Определение усилий в стержнях простейших ферм методом моментной точки.
3. Сформулируйте порядок построения линий влияния усилий для элементов балочной фермы на двух опорах способом моментной точки.
4. Определение усилий в стержнях простейших ферм методом проекций
5. Построение линии влияния усилий в стержнях простейших ферм методом моментной точки.
6. Построение линии влияния усилий в стержнях простейших ферм методом проекций.