Задача 2 (радиоактивный распад)
Основные понятия
Дифференциальных уравнений
При решении различных задач математики, физики, химии, экономики и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Так, решением уравнения является функция - первообразная для функции .
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Рассмотрим две физические задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям. Но заметим, что при решении задач физического характера, приводящих к дифференциальным уравнениям, основную трудность представляет, как правило, составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет общего метода, и каждая задача требует своего подхода, основанного на знании соответствующего закона физики.
Задача 1 (движение материальной точки).
Материальная точка массы замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени.
Решение. Примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией , т.е. . Для нахождения воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): , где - есть ускорение движущегося тела, - результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае - коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения
или , где - масса тела.
Это же уравнение можно записать так
.
,
Задача 2 (радиоактивный распад).
Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества , найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества и временем .
Решение. Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества по времени , т.е. . Учитывая условие, получаем следующее дифференциальное уравнение
,
где - коэффициент пропорциональности.
Знак минус берется потому, что с возрастанием количество вещества уменьшается, а значит, производная не положительна.
Можно убедиться, что частным решением данного уравнения является функция
.
,
Определение 1.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные . ДУ записывается так:
или
.
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных.
Определение 1.2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например, уравнение - обыкновенное ДУ первого порядка; уравнение - ДУ третьего порядка; - ДУ в частных производных первого порядка.
Определение 1.3. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.
Например, для уравнения функции вида , или , где - любые постоянные, являются решениями данного уравнения. Например, для уравнения функция вида , где , является решением данного уравнения.
Основные понятия