Задача 2 (радиоактивный распад)

Основные понятия

Дифференциальных уравнений

При решении различных задач математики, физики, химии, экономики и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru является функция задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - первообразная для функции задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru .

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Рассмотрим две физические задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям. Но заметим, что при решении задач физического характера, приводящих к дифференциальным уравнениям, основную трудность представляет, как правило, составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет общего метода, и каждая задача требует своего подхода, основанного на знании соответствующего закона физики.

Задача 1 (движение материальной точки).

Материальная точка массы задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru . Найти зависимость скорости от времени.

Решение. Примем за независимую переменную время задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru будет функцией задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , т.е. задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru . Для нахождения задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , где задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - есть ускорение движущегося тела, задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru является решением дифференциального уравнения

задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru или задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , где задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - масса тела.

Это же уравнение можно записать так

задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru .

,

Задача 2 (радиоактивный распад).

Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru и временем задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru .

Решение. Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru по времени задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , т.е. задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru . Учитывая условие, получаем следующее дифференциальное уравнение

задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru ,

где задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - коэффициент пропорциональности.

Знак минус берется потому, что с возрастанием задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru количество вещества задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru уменьшается, а значит, производная не положительна.

Можно убедиться, что частным решением данного уравнения является функция

задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru .

,

Определение 1.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , искомую функцию задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru и ее производные задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru . ДУ записывается так:

задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru

или

задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru .

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных.

Определение 1.2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - обыкновенное ДУ первого порядка; уравнение задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - ДУ третьего порядка; задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - ДУ в частных производных первого порядка.

Определение 1.3. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.

Например, для уравнения задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru функции вида задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru или задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , где задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru - любые постоянные, являются решениями данного уравнения. Например, для уравнения задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru функция вида задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , где задача 2 (радиоактивный распад) - student2.ru , является решением данного уравнения.

Основные понятия

Наши рекомендации