Методом начальных параметров

(23)

(24)

Здесь и - прогиб и угол поворота в начале системы координат, начало координат всегда располагается в левом крайнем сечении балки;

Z – расстояние от начала координат до сечения, где определяется прогиб и угол поворота;

а, в, с, d – расстояние от начала координат до места приложения соответствующих внешних сил m, p, q.

МЕТОДОМ МОРА – ВЕРЕЩАГИНА

Для этого строятся эпюры изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки (рис. 43, а), от единичной силы (рис. 43б) при определении прогиба и единичного момента - (рис. 43в) при вычислении угла поворота, и производится “перемножение” соответствующих эпюр, т.е. с одной эпюры берем ее площадь , а с другой – ординату , расположенную под центром тяжести взятой площади.

(26)

(27)

Рис. 43

Основные правила перемножения эпюр:

- результат положителен, если эпюры расположены по одну сторон от оси балки, если по разные стороны – результат отрицательный;

- положительный результат перемножения эпюр свидетельствует о том, что направление перемещения (линейного и углового) совпадает с направлением единичных сил, при отрицательном результате – противоположны направлению единичных сил;

- если обе эпюры ( и ) линейны, то не имеет принципиального значения с какой эпюры брать площадь , с какой ординату ;

- если одна из эпюр криволинейна (это ), то площадь обязательно берется с нее;

- если сложно вычислять площадь эпюры, определить координаты центра тяжести ее и ординату , то при перемножении эпюр и используется прием Симсона (формула 28) (рис. 44).

(28)

А, В, С – ординаты с грузовой эпюры

а, b, с – тоже с единичной эпюры

- спина i-го участка балки

Рис. 44.

4.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

ЗАДАЧА № 32.

Для заданного вала (рис. 45) построить эпюру крутящих моментов и определить из условия прочности и жесткости требуемый диаметр. Вал изготовлен из стали 45, имеющей = 320 МПа, а запас по прочности К = 2,5. Допускаемый относительный угол закручивания . На валу расположены 4 шкива, передающие мощность = 15 КВт, =45 КВт, =20 КВт, =10 КВт при оборотах вала n = 955 об/мин.

Рис.45

РЕШЕНИЕ

1. Определяем величину внешних скручивающих моментов, перед каждым шкивом (через мощность и обороты вала)

(кнм) (29)

где N – мощность, КВт; n – число оборотов в минуту.

кнм; кнм;

кнм; кнм

2. Строим эпюру крутящих моментов, разбив вал на участки I, II, III, применяя метод сечения и приняв следующее правило знаков для крутящего момента

если смотреть на оставленную часть вала со стороны сечения, то

;

На эпюре видно, что в сечениях, где приложены внешние моменты получаются скачки, равные по величине этим моментам. Максимальная величина

= 0,30 кнм.

3. Определяем диаметр вала по условиям прочности и жесткости, применяя формулы (20), предварительно определив допускаемое касательное напряжение

Мпа

здесь переведен в

Из полученных значений принимаем диаметр вала d = 35 мм, обеспечивая тем самым требования и жесткости и прочности.

ЗАДАЧА № 33. Для заданного ступенчатого кронштейна, нагруженного внешними окручивающими моментами m₁ = 10 кНм и m₂ = 30 кНм и защемленного с обоих концов, требуется построить эпюру крутящих моментов М_к и при допускаемом касательном напряжении [ ] = 80 . Определить диаметры сплошной и кольцевой частей (рис. 46). В кольцевой части D = 2d, d₀ = 0,8d, т. е. c = = 0,4

Рис.46.

Решение.

1. Обозначив опорные моменты через m и m _, и составив уравнение равновесия в виде (рис. 47а) (-m_A+m₁-m₂+m_B = 0) мы убеждаемся, что заданная система является статически неопределимой.

Превратим ее в статически определимую, отбросив например опору "В", заменив ее действие опорным моментом " m ". Отбросив опору "В", мы дали возможность сечению В поворачиваться под действием всех внешних моментов, но ведь в заданной системе сечение В жестко защемлено, поворота не имеет. Отразим этот факт, составив уравнение перемещений:

=0 (30)

Рис. 47

Используя закон Гука при кручении запишем

Сократив на “a” и жесткость “ ”, получим

(31)

Здесь и - полярные моменты инерции сплошной и кольцевой частей кронштейна. Их соотношение равно

Решив уравнение (31), получим значение опорного момента

Тогда из уравнения равновесия определяем величину опорного момента

Полученные положительные значения опорных моментов и говорит о том, что их направление было выбрано верно.

2. Разбиваем заданную систему на участки I, II, III, IV (рис. 47б). Границами участков являются сечения, где приложены внешние моменты и меняется сечение. Строим эпюры крутящих моментов (рис. 47в) применяя метод сечений

3. Из условия прочности при кручении определяем диаметры сплошной и кольцевой частей кронштейна, предварительно определив, как действуют наибольшие касательные напряжения

Таким образом, наибольшие касательные напряжения действуют в значениях 2 участка, их и сравниваем с допускаемыми

Отсюда диаметр сплошной части d равен

Тогда размеры кольцевой части кронштейна составят ,

ЗАДАЧА № 34

Для заданной балки построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать размеры поперечного сечения в виде швеллера при допускаемом напряжении =150 Мпа.

Рис.48

РЕШЕНИЕ

1. Введем построение эпюр и М по участкам справа, со стороны свободного конца (рис 48а и б)

первый участок ,

второй участок ,

третий участок ;

,

Определим координату сечения, где поперечная сила проходит через нуль, в этом сечении изгибающий момент имеет экстремальное значение

,

2. Из условия прочности на прямом изгибе определяем размеры (номер швеллера) сечения балки ,

ПО сортаменту на швеллера Гост 8240 – 82[1] и учитывая, что сечение состоит из швеллеров, принимаем швеллер № 10, которого .

ЗАДАЧА № 35

Для заданно шарнирно опертой балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определим с каким запасом прочности она будет работать (рис. 49), если b=60мм, h=140мм, а=35мм.

Рис. 49

РЕШЕНИЕ

1. Определяем сначала опорные реакции из условия равновесия балки

;

;

Проверка

Следовательно реакции определены верно.

2. Разбиваем балку на участки I, II, III, IV, границами участков являются сечения, где приложены внешние силы. С помощью метода сечения строим эпюры и (рис. 49а и б)

первый участок ,

второй участок ,

третий участок (рассматриваем правую часть);

четвертый участок

3. По эпюре видим, что наибольший изгибающий момент равен 20 кНм.

4. Вычисляем величину максимальных нормальных напряжений, действующих в балке, по формуле (22), предварительно определив осевой момент сопротивления заданного сечения через осевой момент инерции

Тогда при

, а напряжение

5. Запас прочности балки определяем из условия прочности

; , что вполне достаточно.

ЗАДАЧА № 36

Для заданной двутавровой балки (рис. 50) построить эпюры и , подобрать сечение при =160 МПа и проверить его на прочность по касательным напряжениям, а так же определить прогиб в точке “C” и угол поворота сечения “K” двумя способами: методом начальных параметров и методом Море – Верещагина.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем сначала опорные реакции из условия равновесия

; ;

Рис. 50

2. Строим эпюры и , по участкам (рис 50а и б)

первый участок ,

второй участок

координата сечения, где

третий участок

;

3. Подбираем двутавровое сечение балки из условия прочности по нормальным напряжениям , отсюда .

По сортаменту ГОСТ 8239 – 89 принимаем двутавр № 22а, у которого , , ,

4. Применяем выбранное сечение на прочность по касательным напряжениям, применяя формулу Д.И. Жуковского.

Допускаемое касательное напряжение обычно равно

Следовательно, прочность по касательным напряжениям вполне обеспечена, ибо

5. Определяем прогиб “ ” в, т “C” и угол поворота сечения “K” (в нашем примере они совпадают) методом начальных параметров. Для этого помещаем начало координат в левое крайнее сечение и записываем

В этом уравнении оба начальных параметра и неизвестны. Для их определения составляем уравнения прогибов для сечений над опорами А и В, где ясно, что они равны 0.

Подставив значения координат и внешних сил, получим два уравнения

Решив их, получим

Тогда прогиб сечения “C” будет равен

Угол поворота этого же сечения

6. Определяем прогиб сечения “C” и угол поворота сечения ”K” методом Мора – Верещагина, для этого дополнительно к эпюре изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 51а) строим эпюры и от единичных сил (51 б и в) и производим перемножение соответствующих эпюр. В результате получим (см. выражение 28) прогиб

Рис. 51

т. е. практически получили одинаковое с методом начальных параметров значение прогиба.

Угол поворота

тоже практически совпало со значением, полученным по методу начальных параметров.

Положительное значение результатов перемножения эпюр свидетельствует, что линейные и угловые перемещения сечений “C” и “K” совпадают с направлениями единичных сил (прогиб вниз, а поворот по часовой стрелке).

ВАРИАНТЫ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

В домашнее задание № 3 входит решение 2 задач на кручение и одной задачи на прямой изгиб. Номер задач, расчетные схемы и исходные данные в соответствии со своим вариантом принимаются по таблицам № 3 (1 – ая задача), № 4 (2 – ая задача) и № 5 (3 – ая задача).

При выполнении домашней работы требуется!

В 1 – ой задаче:

- построить эпюру крутящих моментов;

- определить диаметры круглого сплошного или кольцевого сечения из условий прочности и жесткости или максимальное касательное напряжение и запас прочности “K”;

Во 2 – ой задаче:

- раскрыть статическую неопределимость заданной системы, составить необходимое число уравнений перемещений;

- построить эпюру крутящих моментов;

- из условий прочности определить требуемые диаметры заданного сечения стержня.

В 3 – ей задаче:

- построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов М для указанной балки;

- подобрать из условий прочности размеры поперечного сечения заданной формы;

- определить прогиб в сечении “C” и угол поворота сечения “K” методом начальных параметров и методом Мора – Верещагина.

Таблица 3