Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления и его теоретическое обоснование

АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на :

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:

428 х 3 = ( 400+ 20 + 8) х 3 = 400 х 3 + 20 х 3 + 8 х 3 =1200 + 60 + 24 = 1284

Основой выполненных преобразований являются:

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

8. Теоретические основы изучения величин в начальном курсе математики
Величина как свойство объектов и явлений окружающего мира. Виды величин. Измерение величин. Свойство аддитивности скалярных величин. Действия с однородными и неоднородными величинами.

Величина- это свойство объекта, значения которого отвечают на вопросы какой? и сколько? И их можно записать в определенной системе счисления.

Однородные величины - это величины, которые отражают одно и то же свойство объектов.

Неоднородные величины - это величины, которые отражают разные свойства объектов ( объекта).

Векторная величина- это величина, определяемая не только численным значением , но и направлением.

Скалярная величина- это величина, определяемая только численным значением, т.е. числом и единицей измерения.

Измерение- это операция, посредством которой находят отношение измеряемой величины к другой, однородной с ней величине, принятой за единицу измерения.

Аддитивность- свойство величины, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих частям этого объекта.

Свойство аддитивности длины отрезка – если отрезок состоит из нескольких отрезков, не имеющих общих точек, то длина отрезка равна сумме длин этих отрезков.

Свойство аддитивности площади фигуры - если фигура состоит из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, то площадь фигуры равна сумме площадей этих фигур.

Свойство аддитивности объема тела – если тело состоит из нескольких тел, не имеющих общих

внутренних точек, то объем тела равен сумме объемов этих тел.

Действия с однородными величинами - сравнение, сложение, вычитание, умножение (для отдельных величин), деление.

Действия с неоднородными величинами - умножение и деление (для отдельных величин).

Натуральное число как мера величины показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.

Смысл сложения ( вычитания ) натуральных чисел- мер величин состоит в сложении ( вычитании ) однородных величин.

Смысл умножения натуральных чисел- мер величин состоит в переходе (в процессе измерения ) от более крупной к более мелкой единице измерения.

Смысл деления натуральных чисел- мер величин состоит в переходе (в процессе измерения ) от более мелкой к более крупной единице измерения.

9.Теоретические основы изучения долей и дробей в начальном курсе математики.
Понятие дроби. Основное свойство дроби. Понятие положительного рационального числа. Множество положительных рациональных чисел и его свойства.

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е. При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда, говоря о дине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде Е, где Е - длина единичного отрезка е, а символ называют дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде , где символ называют дробью.

К записи дроби числа m и n - натуральные, m - называется числителем, n - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Определение: Две дроби и называются равными, если mg = np. Если дроби равны, то пишут =.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину и того же отрезка.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основанного сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с лишим числителем и знаменателем.
Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей, равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей = является общее кратное чисел n и g, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее.

Рациональные числа – в математике множество рациональных чисел определяется как множество нескоротних дробей с целым числителем и натуральным знаменателем:

или как множество решений уравнения

т.е. n – натуральное число, а m – целое число.

Множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя.

Любое целое число можно представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1.

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби.

Сначала введем понятие доли.

. Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей.

Одна вторая доля имеет специальное название – половина. Одна третья доля называетсятретью, а одна четверная доля – четвертью.

10.Отношение делимости, его свойства.
Понятие отношения делимости, его свойства. Делимость суммы, разности и произведения на число (доказательство одного из них по выбору студента).

Делитель и делимое

Если число может быть разделено на другое без остатка, мы говорим, что первое числоделимое или что оно делится на второе, а второе - это делитель первого числа.

Каждый число делится на себя. 1 есть делителем для всех чисел. Например: 4/4 = 1; 7/7 = 1; 9/1 = 1; 12/1 = 12

Делимость суммы числа

Числа 6 и 14 делятся на 2; их сумма 20 также делится на 2.

Если каждое слагаемое отдельно делится на число, их сумма также делится на это число.

Если только одно слагаемое не делится на число, сумма также не делится на это число.

Делимость разности числа

40 и 12 делится на 4. Их разница 28 делится на 4.

Если уменьшаемое и вычитаемое отдельно делятся на число, то их разность делится тоже на это число.

Если только уменьшаемое или вычитаемое не делится на число, то их разница также не делится на это число.