Прямая линия на плоскости

Учреждение образования «Белорусская государственная

Сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Элементы аналитической геометрии

Прямая линия на плоскости

Уравнением прямой называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.

Прямую на плоскости можно задавать различными способами.

y

0

x

M(x, y)

Пусть в системе координат задан вектор и точка . Через точку проведём прямую, перпендикулярно вектору , и на этой прямой возьмём произвольную точку M(x,y). Тогда вектор будет перпендикулярен вектору . Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

.

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой. Записав скалярное произведение в координатной форме, получим уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору:

.

Преобразуем это уравнение и получим общее уравнение прямой (или уравнение прямой в общем виде)

Ax+By+C=0,

где .

Углом наклона прямой к оси Ох называется угол, который отсчитывается в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки, от положительного направления оси Ох до данной прямой. Тангенс угла наклона называется угловым коэффициентом прямой и обозначается .

Уравнение вида y=kx+b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана точка и угловой коэффициент k. Тогда уравнение

называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.

Пусть известны две точки и . Уравнение

называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение называется уравнением прямой в отрезках, где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси Ох, а b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу.

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и . Тогда угол между этими прямыми определяется по формуле

.

Если прямые параллельны, то и, следовательно, . Это равенство является условием параллельности двух прямых. Если же прямые перпендикулярны, то и или . Это равенство является условием перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору, имеет вид . Так как по условию примера , , A=3, B=2, то или 3x+2y+2=0.

Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к оси Ох.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом имеет вид . По условию примера . Так как , а , то угловой коэффициент равен . Подставим в уравнение прямой: или . Искомым уравнением прямой является .

Пример 3. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид . Так как по условию примера , , , , то , .

Пример 4. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями y=3x 4 и y=2x+1.

Решение. Угол между двумя прямыми определяется по формуле . По условию и . Подставим в формулу:

, .

Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M( 2, 5) параллельно прямой 2x+3y 5=0.

Решение. Так как искомая прямая должна быть параллельна данной, то по условию параллельности прямых их угловые коэффициенты должны быть равными, т.е. . Найдём угловой коэффициент данной прямой: 3y= 2x+5, , т.е. . Тогда и . Подставим в уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: , , 2x+3y 11=0.

Пример 6. Прямая задана уравнением 3x 4y+3=0. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M( 1, 4) перпендикулярно данной прямой.

Решение. Так как искомая и данная прямые по условию перпендикулярны, то их угловые коэффициенты должны удовлетворять условию перпендикулярности . Найдём угловой коэффициент данной прямой: 3x 4y+5=0, , . Следовательно, . Подставим в уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: , 4x+3y 8=0. Последнее уравнение является уравнением искомой прямой.

Пример 7. Уравнение 3x 4y 24=0 записать в виде уравнения прямой в отрезках.

Решение. Запишем уравнение в виде 3x 4y=24 и разделим обе части на 24: или .

Плоскость

Уравнением плоскости называется такое уравнение с тремя неизвестными, которому удовлетворяют только точки данной плоскости.

С каждой плоскостью связан вектор, перпендикулярный данной плоскости. Этот вектор называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора плоскости можно взять любой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид:

.

Преобразуем данное уравнение и запишем его в виде

Ax+By+Cz+D=0,

где . Полученное уравнение называется общим уравнением плоскости.

Пусть две плоскости заданы уравнениями

и .

Углом между плоскостями будем считать угол между их нормальными векторами и , который определяется по формуле

.

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны и их координаты пропорциональны:

.

Эти равенства являются условием параллельности двух плоскостей.

Если же плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Это равенство является условием перпендикулярности двух плоскостей.

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 4, 1) перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору имеет вид . Так как по условию А=1, В= 5, С=2, , , , то подставим эти значения в уравнение и получим или x 5y+2z 24=0.

Пример 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В(2, 4, 1) параллельно плоскости 3x-2y+z 12=0.

Решение. Нормальный вектор плоскости равен . Так как искомая плоскость параллельна заданной, то в качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять этот же вектор. Подставим координаты точки А и вектора в уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору:

3(x 2) 2(y 4)+(z+1)=0 или 3x 2y+z+3=0.

Пример 10. Определить угол между плоскостями 2x+y 2z+3=0 и x+y 5=0.

Решение. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и определяется по формуле

.

Запишем нормальные векторы для данных плоскостей: . Подставим координаты этих векторов в формулу: . Следовательно, .

Пример 11. Даны пары плоскостей:

а) 3x 4y+5z 3=0 и 6x 8y+10z+5=0;

б) 2x y+5z 5=0 и 4x+3y z+1=0;

в) x 3y+z 1=0 и 2x+4y 3z+2=0.

Определить, какие из них параллельны, а какие перпендикулярны.

Решение. а) Запишем нормальные векторы плоскостей:

и . Так как координаты векторов пропорциональны , то выполняется условие параллельности плоскостей, т.е. плоскости параллельны.

б) Нормальными векторами плоскостей являются векторы и . Скалярное произведение векторов , что является условием перпендикулярности плоскостей. Следовательно, плоскости перпендикулярны.

в) Плоскости имеют нормальные векторы и . Координаты этих векторов не пропорциональны, т.е. , и скалярное произведение векторов не равно нулю: . Следовательно, заданные плоскости не параллельны и не перпендикулярны.