Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Матрица Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru называется обратной к квадратной матрице Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , если

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ,

где Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru . Обратная матрица существует только в том случае, если Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , и ее элементы находятся по формуле

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ,

где Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru - алгебраическое дополнение к элементу Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Внимание! Алгебраические дополнения вычисляются к элементам строки, а записываются в столбец.

Если Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , то матрица Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru называется вырожденной, в противном случае невырожденной, т.е. обратная матрица существует только для невырожденных матриц.

Обозначается обратная матрица Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , т.е.

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ,

при этом ее определитель Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Для невырожденных матриц Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru и Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru выполнены соотношения

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ,

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям:

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru или Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Если матрица Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru - квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, указанные уравнения имеют различные решения.

При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru слева, а второе справа, т.е.

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , (5)

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru . (6)

►Пример 5.Найти решение матричного уравнения Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , то есть определить матрицу Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , если Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Решение.

Решение в матричном виде определяется формулой (5), т.е. Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , если матрица Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru невырожденная. Вычислим определитель матрицы Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru :

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Следовательно, матрица Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru

Составим обратную матрицу Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru и найдем неизвестную матрицу Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru . ◄

При вычислениях множитель Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru лучше оставлять перед матрицей и проводить умножение полученной матрицы на него на последнем этапе вычислений.

Упражнения.

1. Для заданных матриц найти обратную матрицу:

а) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; б) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ;в) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ;г) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ;д) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Ответы:

а) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; б) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; в) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; г) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ;

д) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

2. Найти неизвестную матрицу из уравнений:

а) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; б) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ;в) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ;

г) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; д) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Ответы: а) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; б) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; в) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; г) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; д) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Ранг матрицы

Рангом матрицы Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru (обозначение: Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ) называется порядокотличного от нуля минора этой матрицы при условии, что все ее миноры более высоких порядков равны нулю. Минор наивысшего порядка, отличный от нуля, называется базисным минором или просто базисом. Матрица может иметь несколько различных базисов. Для определения базиса над матрицей производят элементарные преобразования, при которых ранг матрицы не изменяется.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

- транспонирование;

- удаление или добавление строки (столбца), состоящей из нулей;

- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- перестановка строк (столбцов);

-прибавление к элементам какой-либо строки элементов другой строки, умноженных на постоянное число (то же самое для столбцов).

Выполняя элементарные преобразования над матрицей, получаем другую матрицу, называемую эквивалентной. Переход от исходной матрицы к эквивалентной будем обозначать символом Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Используя выше перечисленные действия, матрицу можно преобразовать к треугольному виду, что позволяет легко определить ее ранг.

►Пример 7. Найти ранг матрицы Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Решение.

Преобразуем матрицу:

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru

Минор Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , а все миноры четвертого порядка равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Следовательно, Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru . ◄

При преобразовании матрицы мы проводили операции только со строками и по определенному алгоритму. Этот метод стандартный, но не является обязательным.

Упражнения.

1. Найти ранг матриц:

а) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; б) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ;

в) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ; г) Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru . Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.

Системы линейных уравнений. Основные понятия

Системой Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ruлинейных уравнений с Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru неизвестными Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru (линейной системой) называется система вида

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru (7)

где Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru − заданные числа. Числа Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru называются коэффициентами системы, а числа Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru - свободными членами.

Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю, т.е.

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru (8)

В противном случае линейная система называется неоднородной.

Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru чисел:

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru , (9)

при подстановке которых вместо Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru . Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.

Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru – матрица коэффициентов при неизвестных,

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru - матрица-столбец свободных членов,

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru - матрица-столбец неизвестных.

Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru ,

а решение (9) в виде матрицы-столбца Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru .

Матрица коэффициентов

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru

называется основной матрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов,

Обратная матрица. Решение матричных уравнений - student2.ru

называется расширенной матрицей системы.

Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.

Наши рекомендации