Викладач:доцент Воробйова А.І

Чорноморський державний університет ім. Петра Могили

Кафедра прикладної та вищої математики

Індивідуальне завдання № 2.2.1 та 2.2.2

Методичні вказівки

З вищої математики

Тема: Диференціювання.

Викладач:доцент Воробйова А.І.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Поняття похідної

Постановка задачі. За означенням, знайти похідну функції в точці .

План розв’язання.

1. За означенням

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Зауваження. При обчисленні границі , але .

2. Обчислюємо границю

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru 3. Якщо границя існує і дорівнює А, то , якщо границя не існує, то не існує.

Задача 1. Виходячи з означення похідної, знайти Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Виходячи з означення похідної, маємо:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

       
  Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
    Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
 

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Так як хоча при не визначений, але є скінченою. величиною.

Тобто задана функція в точці х = 0 має похідну, яка дорівнює одиниці: .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Рівняння дотичної і нормаліПостановка задачі.

Скласти рівняння дотичної і/або нормалі до кривої в точці з абсцисою х0.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru План розв’язання.Якщо функція в точці х0 має кінцеву похідну, то рівняння дотичної має вигляд

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru , (1)

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru де і .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Якщо , то рівняння дотичної має вигляд х = х0.

Якщо , то рівняння нормалі має вигляд

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru . (2)

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Якщо , то рівняння нормалі має вигляд х = х0.

1. Знаходимо значення .

2. Знаходимо похідну Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

3. Підставляючи знайдені значення У0 й У0' у (1) і/або (2), одержуємо рівняння дотичної і/або нормалі.

Задача 2. Скласти рівняння нормалі до даної кривої в точці з абсцисою х0.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Рівняння нормалі:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Маємо:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru , Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Одержуємо рівняння нормалі:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru або Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Скласти рівняння дотичної до даної кривої в точці з абсцисою х0.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Рівняння дотичної: .

Маємо:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru , Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Одержуємо рівняння дотичної:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru або

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Диференціал

Постановка задачі. Знайти диференціал dy функції .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru План розв’язання

Диференціалом функції в точці х називається головна частина її збільшення, рівна добуткові похідної функції на приріст аргументу, і позначається dy (або Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru ):

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru . (1)

Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Тому що для функції у = х маємо у' = х' = 1, тобто відповідно до формули (1), маємо dy = dx = ∆x, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює збільшенню цієї змінної: dx = ∆x.

Тому формулу (1) можна записати так:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru , (2)

іншими словами, диференціал функції дорівнює добуткові похідної цієї функції на диференціал незалежної змінної.

Задача 3. Знайти диференціал dy.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Наближені обчислення за допомогою диференціала

Постановка задачі. Обчислити приблизно за допомогою диференціала значення функції

в точці x0.

План розв’язання. Якщо приріст ∆x = x – x0 аргументу x мал за абсолютною величиніою, то

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru . (1)

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru 1. Вибираємо точку x0, найближчу до x і таку, щоб легко обчислювалися значення і Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru 2. Обчислюємо ∆x = x – x0 , і .

3. По формулі (1) обчислюємо .

Задача 4. Обчислити приблизно за допомогою диференціала.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

У нашому випадку: x0 = 1, , ∆x = 0,98 – 1 = – 0,02.

Обчислюємо:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru ;

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru , Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Маємо:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Обчислення похідних

Постановка задачі. Знайти похідну функції .

План розв’язання. Задача розв’ язуеться в кілька етапів. На кожному етапі необхідно розпізнати тип функції і застосувати відповідне правило диференціювання. Можливі наступні типи функцій.

1. Функція має вигляд С1u1(x) + С2u2 (x) + … + Сnun(x), де u1(x), u2(x), …, un(x) – деякі функції і C12, …, Сn – деякі постійні (константи). Використовуємо формулу похідної лінійної комбінації

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

2. Функція має вигляд . Використовуємо формулу похідної добутку:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

3. Функція має вигляд . Використовуємо формулу похідної частки:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

4. Функція має вигляд . Використовуємо формулу похідної складної функції:

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

5. Функція має вигляд . Похідна такої функції обчислюється за допомогою формули

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Перехід від етапу до етапу відбувається доти, поки під кожним знаком похідної не виявиться таблична функція.

Таблиця похідних основних елементарних функцій.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Функція Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Похідна
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru
Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Задача 5.Знайти похідну.

.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru Задача 6.Знайти похідну.

.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Задача 7.Знайти похідну.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Задача 8.Знайти похідну.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Задача 9.Знайти похідну.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Задача 10.Знайти похідну.

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru .

Викладач:доцент Воробйова А.І - student2.ru

Наши рекомендации