Понятие логарифма и его свойства

Логарифмом числа b (b>0) по основанию а(а>0 а¹1)называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b:

(1)

Формулу (1) называют основным логарифмическим тождеством.

Логарифм числа b по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается .

Логарифм по основанию e (e = 2,71828…) называется натуральным логарифмом и обозначается .

Свойства логарифмов:

Пусть . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , ;

7) , ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) тогда и только тогда, когда ;

12) , тогда и только тогда, когда ;

13) , тогда и только тогда, когда .

Обобщенные свойства логарифмов

Пусть и выражения с переменной. Тогда:

3^*) , где ;

4^*) , где ;

5^*) , где ;

6^*) , где

Замечание 1. Следует различать произведение логарифмов и повторный логарифм , .

Замечание 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами:

или .

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.

Потенцированием называют действие, обратное логарифмированию, т.е. потенцирование – это операция нахождения числа (выражения) по его логарифму. При выполнении этих операций пользуются свойствами логарифмов.

Пример 1. Упростить выражение: .

Решение. Преобразуем каждое слагаемое отдельно. При этом сделаем ссылку на конкретные свойства логарифмов, приведенные выше.

|используем свойство 9| |по свойству 5|= = |по основному логарифмическому тождеству| = .

|по свойству 10| ,

тогда .

|по свойству 5| =

= |по свойству 2| = .

|по свойству 8| = .

Таким образом:

.

Замечание 1. Решение этого примера при одновременном преобразовании всех слагаемых (что и следует делать) выглядит так:

Ответ: 5.

Пример 2. Вычислить: .

Решение.Для преобразования первого и второго слагаемых используем формулу изменения основания логарифма (свойство 9), а затем свойства 3 и 5.

= |по свойствам 5 и 2|=

=

.

Для преобразования третьего слагаемого используем свойства 3 – 5:

Тогда получаем

.

Ответ: 30,5.

Замечание 2. Подробное описание решения и преобразование всех слагаемых отдельно сделано из соображений доступности объяснений. Целесообразно делать преобразования всего выражения сразу, аналогично тому, как сделано в замечании 1.

Пример 3.Прологарифмировать по основанию 10 выражение

.

Решение.Замечаем, что сделать это можно, если . Тогда

Пример 4. Выполнить потенцирование выражения

.

Решение. Используем свойства логарифмов 3 – 5 («справа-налево»)

Получаем ответ: .

Пример 5. Выразить через и .

Решение.

Ответ: .

Задания

I уровень

1.1. Найдите число, логарифм которого при основании 2 равен:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 8) ; 9) 1; 10) 2.

1.2. Найдите логарифм числа 729 при основании

1) 9; 2) 3; 3) ; 4) .

1.3. Найдите логарифм по основанию 3 числа:

1) 1; 2) 3; 3) 9; 4) 27;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) .

1.4. Найдите число , если:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

1.5. Найдите число , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6) .

1.6. Вычислите значение логарифма:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.7. Упростите выражение:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

1.8. Вычислите:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

1.9. Прологарифмируйте выражение по основанию a:

1) , если ;

2) , если ;

3) , если a = 10;

4) , если a = 10;

5) , если ;

6) , если ;

7) , если .

1.10. Выполните потенцирование:

1) ;

2) ;

3) ;

II уровень

2.1. Вычислите:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16). .

2.2. Докажите неравенство:

1). ; 2). .

2.3. Известно, что . Выразите заданный логарифм через a и b:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

III уровень

3.1.Вычислите:

1). ;

2). ;

3). ;

4). .

3.2. Упростите до числа:

.

3.3. Докажите, что

.