Свойства обратной матрицы

1.Обратная матрица единственна.

Доказательство.Пусть существуют две обратные матрицы: свойства обратной матрицы - student2.ru и свойства обратной матрицы - student2.ru . Тогда свойства обратной матрицы - student2.ru

2. свойства обратной матрицы - student2.ru . Это следует из определения.

3. свойства обратной матрицы - student2.ru.

Доказательство: свойства обратной матрицы - student2.ruи

свойства обратной матрицы - student2.ru .

4. свойства обратной матрицы - student2.ru.

Доказательство: свойства обратной матрицы - student2.ruи

свойства обратной матрицы - student2.ru .

5.Если свойства обратной матрицы - student2.ru – невырожденная матрица, то свойства обратной матрицы - student2.ru – тоже невырожденная.

Доказательство: свойства обратной матрицы - student2.ru .

Пример.Найти обратную матрицу для матрицы

свойства обратной матрицы - student2.ru .

Найдём определитель матрицы свойства обратной матрицы - student2.ru :

свойства обратной матрицы - student2.ru ,

следовательно, существует обратная матрица.

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы свойства обратной матрицы - student2.ru :

свойства обратной матрицы - student2.ru ; свойства обратной матрицы - student2.ru ; свойства обратной матрицы - student2.ru ; свойства обратной матрицы - student2.ru ; свойства обратной матрицы - student2.ru ; свойства обратной матрицы - student2.ru ;

свойства обратной матрицы - student2.ru ; свойства обратной матрицы - student2.ru ; свойства обратной матрицы - student2.ru ,

тогда

свойства обратной матрицы - student2.ru .

Проверка

свойства обратной матрицы - student2.ru .

Лекция 5

Понятие линейной зависимости строк матрицы, основные теоремы.

Элементарные преобразования матриц. Ступенчатые матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому и единичному виду. Построение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Понятие линейной зависимости строк матрицы, основные теоремы

Основная литература: [1], [4].

Элементарные преобразования матриц. Ступенчатые матрицы.

Приведение матрицы к ступенчатому и единичному виду.

Построение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие действия:

1) транспонирование матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

3) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4) прибавление к каждому элементу строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

5) отбрасывание нулевой строки (столбца).

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

1) Из всех строк матрицы выбрать такую строку, первый элемент которой равен единице. Если такой строки нет, то получить ее с помощью элементарного преобразования 4. Меняя порядок строк, сделать выбранную строку первой строкой.

2) С помощью элементарного преобразования 4 получить нули во всех строках первого столбца, кроме первой.

3) Из всех строк матрицы, кроме первой, выбрать такую строку, второй элемент которой равен единице. Если такой строки нет, то получить ее с помощью элементарного преобразования 4. Меняя порядок строк, сделать выбранную строку второй строкой.

4) С помощью элементарного преобразования 4 получить нули во всех строках второго столбца, кроме первой и второй.

5) Алгоритм продолжать до тех пор, пока все элементы, лежащие ниже главной диагонали, не обратятся в нуль.

Пример 1.Привести матрицу свойства обратной матрицы - student2.ru к ступенчатому виду.

Решение.

свойства обратной матрицы - student2.ru .

Рассмотрим ещё один способ нахождения обратной матрицы с использованием элементарных преобразований.

Пример 2. свойства обратной матрицы - student2.ru .

свойства обратной матрицы - student2.ru

Следовательно, свойства обратной матрицы - student2.ru .

Лекция 6

Ранг матрицы, определение. Понятие базисного минора матрицы.

Наши рекомендации