Идеальной несжимаемой жидкости

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под воздействием только одной массовой силы – силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкость и скорость её движения. Впервые эту задачу решал Даниил Бернулли в своём знаменитом сочинении «Гидродинамика» в 1738 году. Однако классическую форму, в которой основная закономерность движения жидкости известна ныне как уравнение Бернулли, придал этому закону Л. Эйлер в 1755 г.

Возьмём одну из струек, составляющих поток, и выделим сечениями 1-1 и 2-2 участок этой струйки произвольной длины.

Рис.3.4

Пусть площадь первого сечения dΩ₁, скорость в нём u₁, давление р₁, а высота расположения центра тяжести сечения относительно произвольно взятой горизонтальной площади – z₁. Во втором сечении соответственно dΩ₂, u₂, p₂ и z₂. За бесконечно малый промежуток времени, выделенный нами участок струйки, переместится в положение 1’ – 2’ (1-2 →1’-2’). Применим к этому участку струйки теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном случае являются силы давления и сила тяжести

dA_д+dA_т= dЭ_к .(3.11)

Подсчитаем работу сил и изменение кинетической энергии участка струйки за время dt.

1. Работа силы давления сложится из суммы работ сил давления в 1 и 2 сечениях, которые в свою очередь выразятся как произведения силы рdΩ на путь udt.В первом сечении направление сил положительно (+), во втором – отрицательно (–), следовательно:

dA_д = р₁ u₁ dΩ₁ dt – р₂ u₂ dΩ₂ dt. (3.12)

2. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки. Поэтому из энергии положения жидкости в объёме 1-2 вычтем энергию положения жидкости в объёме 1’-2’. При этом энергия положения промежуточного объема 1’-2 сократится и согласно уравнению неразрывности видно, что объёмы, а, следовательно, и вес отрезков 1-1’ и 2-2’ равны между собой, то есть

dG₁ = dG₂ = dG = γ u₁ dΩ₁ dt = γ u₂ dΩ₂ dt. (3.13)

Поэтому работа сил тяжести будет равна произведению разности высот на вес жидкости

dA_т = (z₁ – z₂)dG. (3.14)

3. Приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки найдём как разность кинетической энергии объёма 1’-2’ и 1-2.

dЭ_к = (u₂² – u₁²) . (3.15)

Сложим уравнения (3.12) и (3.14) и приравняем к уравнению (3.15):

p₁ u₁ dΩ₁ dt – p₂ u₂ dΩ₂ dt + (z₁ – z₂)dG = (u₂² – u₁²) . (3.16)

Разделим это уравнение на вес dG и после соответствующих сокращений получим:

. (3.17)

Сгруппируем в левую и правую части уравнения члены, относящиеся к 1 и 2 сечениям:

. (3.18)

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Составляющие уравнения имеют линейную размерность и называются:

z – нивелирная высота или геометрический напор; - пьезометрическая высота или пьезометрическим напор; - скоростная высота или скоростной напор; z + - статическая высота (напор). Трёхчлен вида называется полным напором.

Так как сечения 1 и 2, для которых мы получили уравнение Бернулли, были взяты произвольно, то и для любого другого сечения этой струйки полный напор будет величиной равной и постоянной, то есть:

. (3.19)

Итак, для идеальной движущейся жидкости сумма трёх высот: нивелирной, пьезометрической и скоростной есть величина постоянная вдоль струйки.

Из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что если площадь поперечного сечения струйки уменьшается, то есть струйка сужается, то скорость движения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и, наоборот, если струйка расширяется, то скорость уменьшается, а давление увеличивается.

Рассмотрим энергетический смысл уравнения Бернулли. Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесённую к единице веса, то есть:

Е = Э/G = Дж/Н = м. (3.20)

Удельная энергия имеет линейную размерность, так же как и члены уравнения Бернулли. Нетрудно доказать, что члены этого уравнения являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно:

z – удельная энергия положения, так как частица жидкости весом ΔG, находясь на высоте z, обладает энергией положения, равной ΔG∙z, а на единицу веса приходится энергия z = ;

– удельная энергия движущейся жидкости, так как частица жидкости весом ΔG при давлении р имеет способность подняться на высоту и тем самым приобретает энергию положения ΔG. После деления на ΔG получаем .

z + – удельная потенциальная энергия жидкости; – удельная кинетическая энергия жидкости; – полная удельная энергия движущейся жидкости.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.