Рассмотрим изменение спроса при изменении дохода

Пусть доход изменяется на dM, тогда спрос изменится согласно формуле:

Уравнения для снова получим, дифференцируя по М соотношения (4.4) и (4.5):

(4.14)

или в матричной форме:

(4.15)

Поэтому

,

откуда имеем:

(4.16)

Объединяя (4.9), (4.13), (4.16), получим следующее уравнение Слуцкого, которое является сердцевиной теории полезности:

(4.17)

А поскольку изучается изменение спроса при росте цены на n-й товар, которая не компенсируется повышением дохода, то вторая составляющая в (4.17) (с отрицательным знаком) как раз и снимает искусственный прирост спроса, вызванный компенсирующим ростом дохода.

Для того чтобы воспользоваться уравнением Слуцкого, изучим свойства матрицы:

Эта матрица симметрична, так симметричной является матрица U^-1, а последняя симметричная вследствие симметричности матрицы U.

Матрица H отрицательно полу определена, что означает: zHz¢ £ 0 для любого вектора-строки z.

Рассмотрим случай, когда z = ap, a ¹ 0, тогда

где ).

Пусть теперь направление z не совпадает с направлением p (т.е. z ¹ ap любого a), тогда z можно представить в виде:

z = ap + v, v = z – ap,

где (это число), n ¹ 0.

Такое представление z дает: а потому поскольку U^-1отрицательно определена.

Если взять за z вектор z = (0, …, 1, 0, …, 0), т.е. вектор-строку, все элементы которого, кроме i-го, равны нулю, а i-й элемент равен 1, то zHz¢ = h_ii < 0, т.е. все диагональные элементы матрицы Н отрицательны. Поэтому

(4.18)

Итак, даже при компенсированном росте цены товара спрос на этот товар все же уменьшается.

Товар i называют ценным, если с ростом дохода спрос на него растет , малоценным – если .

Поскольку в соответствии с (4.14)

(4.19)

то ценные товары обязательно существуют.

Спрос на ценный товар убывает при росте цены на него, это непосредственно следует из уравнения Слуцкого для (i-го) товара:

В соответствии с (4.11)

поэтому обязательно найдется такой товар l, для которого

То есть уменьшение спроса на i-й товар приводит к росту спроса на l–й товар. Такие товары называют взаимозаменяемыми, например, животные жиры и растительное масло.

Если же , то товары i и т образуют взаимодополняющую пару (компенсированный рост цены на бензин вызывает спад спроса как на бензин, так и на автомобили).

Продукт l называют валовым заменителем продукта i, если

Функция спроса имеет свойство валовой заменимости, если с ростом цены на любой продукт i спрос на остальные продукты не снижается:

Если же , то функция спроса имеет свойство сильного валового замещения. Можно доказать, что функция спроса, порождена функцией полезности

обладает свойствами сильного валового замещения.

Эффекты замещения и дохода при повышении (снижении) цены на один из товаров иллюстрируют рис. 4.1 и 4.2 соответственно.

Рис. 4.1. Эффект замещения и эффект дохода при повышении цены

Рис. 4.2.Эффект замещения и эффект дохода при снижении цены

Эффект дохода заключается в изменении потребления вследствие изменения реального дохода, возникшего из-за изменения цен.

Эффект замещения заключается в изменении потребления вследствие изменения относительных цен.