Динамика системы свободных материальных точек

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Механико-математический факультет МГУ, 3,4,5 семестры,

специальность “Механика, прикладная математика”,

лектор профессор В.Г.ВИЛЬКЕ (2011/13 годы)

0.Механические модели и их роль в развитии техники. Основные понятия и определения (пространство, время, механическая система и ее движение). Материальная точка и твердое тело.

КИНЕМАТИКА

1.Траектория, закон движения, скорость и ускорение точки. Разложение скорости по осям естественного трехгранника.

2.Криволинейные координаты. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах.

3.Сложное движение точки. Лемма о производной ортогонального оператора. Теорема сложения скоростей.

4.Распределение скоростей при произвольном движении твердого тела. Угловая скорость твердого тела. Поступательное движение тела, вращение вокруг неподвижной оси.

5.Ускорение точек твердого тела. Теорема сложения ускорений для материальной точки.

6.Классификация мгновенных движений твердого тела. Уравнение винтовой оси.

7.Непрерывное движение твердого тела. Аксойды.

8.Плоскопараллельное движение твердого тела и вращение вокруг неподвижной точки. Теорема Эйлера о конечном повороте твердого тела.

9.Сложное движение твердого тела. Пара вращений.

10.Композиция нескольких вращений и теорема сложения угловых скоростей. Операторы поворота вокруг осей ортогональной системы координат. Углы Эйлера. Кинематические формулы Эйлера. Углы Крылова.

ДИНАМИКА ТОЧКИ

11.Принцип детерминированности. Основные определения и законы динамики.

12.Уравнения движения материальной точки в декартовой и криволинейной системах координат, в проекциях на оси естественного трехгранника.

13.Теоремы о количестве движения, о моменте количества движения. Первые интегралы.

14.Работа силы. Потенциальные силовые поля. Теорема об изменении кинетической энергии. Закон сохранения энергии.

15.Движение точки по прямой в сопротивляющейся среде. Метод фазовой плоскости.

16.Линейный осциллятор. Влияние сил трения и внешнего возбуждения. Фазовые портреты.

17.Движение точки в однородном поле силы тяжести. Параболоид безопасности. Влияние линейного сопротивления.

18.Движение материальной точки в центральном поле сил. Формулы Бине.

19.Движение планет. Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера.

20.Движение точки в центральном гравитационном поле. Уравнение Кеплера и определение закона движения точки по эллиптической орбите. Первая и вторая космические скорости.

21.Движение несвободной материальной точки. Голономные связи. Конфигурационное многообразие, касательное и нормальное пространства. Возможные перемещения.

22.Принцип освобождаемости от связей. Аксиома идеальных связей. Уравнения движения точки по поверхности и по кривой с неопределенными множителями Лагранжа. Теорема о кинетической энергии.

23.Уравнения движения точки по поверхности и по кривой в независимых координатах. Определение реакций связей. Связи с трением.

24.Период колебаний в потенциальной яме. Малые колебания. Циклоидальный маятник.

25.Математический маятник.

26.Неудерживающие связи. Условия схода с неудерживающей связи.

27.Движение точки относительно неинерциальной системы координат. Теорема об изменении энергии. Обобщенный интеграл энергии. Математический маятник во вращающейся системе координат.

28.Равновесие материальной точки на Земле. Падение материальной точки на Землю с учетом вращения Земли.

29.Маятник Фуко.

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

30.Система N материальных точек, уравнения ее движения. Силы внутренние и внешние. Теорема об изменении количества движения.

31.Момент количеств движения материальных точек в абсолютном движении и в движении относительно осей Кенига. Теоремы об их изменении.

32.Кинетичекая энергия системы материальных точек в абсолютном движении и в движении относительно осей Кенига. Теоремы об их изменении. Закон сохранения энергии.

33.Постановка задачи N тел. Лемма Лагранжа-Якоби. Необходимое условие ограниченности взаимных расстояний.

34.Задача двух тел. Ограниченная круговая задача трех тел. Точки либрации.

ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА

35.Связи и их классификация. Конфигурационное многообразие системы. Возможные перемещения. Идеальные связи.

36.Принцип Д`Аламбера-Лагранжа для систем с идеальными связями и общие теоремы динамики.

37.Уравнения Лагранжа второго рода.

38.Первые интегралы уравнений Лагранжа. Теорема Нетер.

39.Определение реакций связей с помощью уравнений Лагранжа.

40.Равновесие системы материальных точек. Принцип Д`Аламбера. 41.Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия.

42.Второй метод Ляпунова исследования устойчивости. Функция Ляпунова и теорема Ляпунова.

43.Уравнения Рауса при наличии циклических координат.

44.Стационарные движения и их устойчивость. Сферический маятник.