Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой

Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

а₁₁х² + 2а₁₂ ху + а₂₂ у² + 2а₁х + 2а₂у + с = 0, (8)

в котором хотя бы один из коэффициентов а₁₁, а₁₂, а₂₂ отличен от нуля. Выражение

а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂ у²

называется квадратичной часть уравнения, 2а₁х + 2а₂у – линейной частью, а с – свободным членом.

Если мы перейдем к новой СК Ox¢y¢, то формулы замены координат будут иметь вид

x = ax¢ + by¢ + b₁,

y = gx¢ + dy¢ + b₂.

Если мы подставим эти выражения в (8), то снова получим уравнение такого же вида, т.е. содержащее x¢ и y¢ во второй степени. Поэтому наше определение корректно, т.е не зависит от выбора СК. В дальнейшем, СК всегда предполагается декартовой.

Определение. Точка O¢ называется центром кривой второго порядка, если она является ее центром симметрии. Кривая, которая имеет центр, называется центральной.

Предположим, что СК выбрана так, что ее начало находится в центре кривой. Тогда одновременно с точкой M(x, y) кривой будет принадлежать и точка M¢(– x,– y). Подставим ее координаты в (7) и получим

а₁₁х² + 2а₁₂ ху + а₂₂у² – 2а₁х – 2а₂у + с = 0. (8¢)

Вычтем из равенства (8) равенство (8¢):

4(а₁х + а₂ у) = 0.

И это должно выполняться для любой точки M(x, y) на кривой. Поэтому а₁ = а₂ = 0, если начало координат находится в центре. Поэтому, если изначально начало координат не находится в центре O¢, то мы совершим параллельный перенос координатных осей в центр, и уравнение кривой в новой СК O¢х¢у¢ примет вид

а₁₁х¢² + 2а₁₂ х¢у¢ + а₂₂у¢² + с¢ = 0, (9)

т.е. линейная часть уравнения исчезнет. При этом, коэффициенты квадратичной части останутся прежними; это будет установлено в процессе доказательства следующей теоремы.

Теорема 5. Координаты (x_o, y_o) центра кривой, заданной уравнением (8), находятся из системы линейных уравнений

а₁₁х_o + а₁₂ у_o + а₁ = 0,

а₁₂ х_o + а₂₂ у_o + а₂ = 0.

Доказательство. Введем новую декартову СК O¢х¢у¢, которая получается из Oху переносом начала в центр O¢(x_o, y_o) кривой. Тогда формулы замены координат имеют вид:

x = x¢ + х_o,

y = y¢ + у_o.

Подставим эти формулы в (7):

а₁₁(x¢+ х_o)² + 2а₁₂ (x¢+ х_o)( y¢+ y_o) + а₂₂(y¢+ y_o)² +

+ 2а₁(x¢+ х_o) + 2а₂(y¢+ y_o) + с = 0.

После преобразований получаем

а₁₁(x¢)² + 2а₁₂ x¢y¢+ а₂₂(y¢)² + 2(а₁₁х_o+ а₁₂ у_o+ а₁)x¢+

+ 2(а₁₂х_o+ а₂₂ у_o+ а₂)y¢+ с¢= 0,

где с¢ = j(x_o, y_o) – значение левой части уравнения (7) в точке O¢. Поскольку в новой СК коэффициенты при x¢ и y¢ должны быть равны нулю, то получаем (10).

Заметим, что уравнение кривой в новой СК можно выписать, не совершая подстановки (11) и преобразований: коэффициенты квадратичной части не изменяются, надо только вычислить с¢.

Обозначим A = – матрица квадратичной части уравнения (8) (она же является матрицей системы линейных уравнений (10)),

d = det A, d_x = – , d_y = – .

1 случай. d ¹ 0. Тогда по правилу Крамера система (10) имеет единственное решение

x_o= d_x/d, y_o= d_y /d, (*)

а кривая имеет единственный центр. Минусы были поставлены выше потому, что а₁ и а₂ находятся в (10) не в правой части, а в левой.

2 случай. d = 0, d_x¹ 0 и d_y¹ 0 (заметим, что в случае d = 0, определители d_x и d_y будут равны или неравны нулю только одновременно). Тогда ранг расширенной матрицы системы (10) будет равен 2, а rank A=1. Значит, согласно теореме Кронекера-Капелли система (10) не имеет решений, а кривая не имеет центра.

3 случай. d = 0, d_x = d_y = 0. Тогда оба уравнения в (10) пропорциональны, а значит, эта система имеет бесконечное количество решений, а кривая – бесконечное количество центров.

Упростим еще величину с¢:

с¢ = j(x_o, y_o) = а₁₁х_o² + 2а₁₂ х _oу_o + а₂₂ у_o² + 2а₁х_o + 2а₂ у_o + с =

= (а₁₁х_o + а₁₂ у_o + а₁) х_o+ (а₁₂ х_o + а₂₂ у_o + а₂)у_o + а₁₂ х_o + а₂₂ у_o + с.

В силу (9) выражения в скобках равны нулю, и мы имеем

с¢ = а₁ х_o + а₂ у_o + с. (12)

Подставляя сюда (*) получаем

с¢ = а₁ + а₂ + с = (а₁d_x + а₂ d_y + с) = , (13)

где

а₁₁ а₁₂ а₁

D = а₁₂ а₂₂ а₂ .

а₁ а₂ с

В скобках как раз стоит разложение D по последней строке или последнему столбцу. Равенство (13) позволяет выписать (9) не находя координат центра кривой. Но, если уже центр найден, то легче вычислить с¢ по формулам (12).