Перемещения, деформации и напряжения в слоях

Основные понятия, исходные соотношения и гипотезы

Рассмотрим многослойную тонкую оболочку постоянной общей толщины , собранную из произвольного числа однородных анизотропных слоев постоянной толщины (рис.2.1).

Предполагается, что в каждой точке каждого слоя оболочки имеется лишь одна плоскость упругой сим-метрии, параллельная координатной поверхности оболочки; координатная поверхность параллельна внешним поверхностям оболочки и проходит внутри какого-либо слоя.

Пусть и являются криволинейными ортогональными ко-ординатами, совпадающими с лини-ями главной кривизны координатной поверхности оболочки, и , будучи нормальной к координатным линиям , . является прямолинейной и представляет расстояние по нормали от точки коорди-натной поверхности до точки оболочки (рис.2.2). Допустим, что все слои оболочки при деформации остаются упругими, т.е. подчиняются обобщенному закону Гука и работают совместно, без скольжения.

В выбранной триортогональной системе координат для коэффициентов Ляме имеем

, , , (2.1)

где и являются коэффициентами первой квадратичной формы координатной поверхности, , – главные кривизны координатной поверхности оболочки на линиях соответственно , .

Для компонентов деформаций -го слоя оболочки имеем

; (2.2)

; (2.3)

; (2.4)

; (2.5)

; (2.6)

. (2.7)

Основной предпосылкой для построения теории тонких анизотропных слоистых оболочек является гипотеза недеформированных нормалей. Она формулируется так: нормальный к координатной поверхности прямолинейный элемент оболочки после деформации остается прямолинейным, нормальным к деформированной координатной поверхности оболочки и сохраняет свою длину, а также нормальными напряжениями на площадках, параллельных координатной поверхности тонкой оболочки, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями.

Принимая гипотезу недеформированных нормалей, в теории оболочек вносится погрешность, которая будет порядка , однако есть случаи, когда эта погрешность значительно больше.

Допуская обычную для инженерного расчета относительную погрешность 5 %, тонкими считаются такие оболочки, у которых и одновременно , где – минимальный линейный размер оболочки в координатной поверхности, – малая величина (например, для изотропной оболочки ~ 0,1). Второе условие заимствовано из теории пластин, является обязательным. Так как если тонкую оболочку определять только с точки зрения отношения толщины оболочки к минимальному радиусу кривизны координатной поверхности (первое условие), то она с точки зрения теории пластин (второе условие) может оказаться толстой, и принятое основное предположение станет неприемлемым.

Данное выше определение тонкой оболочки носит несколько условный характер, так как если толщину оболочки рассмотреть с точки зрения возможности применения гипотезы недеформируемых нормалей, то приведенное геометрическое определение тонкой оболочки в случае анизотропных слоистых оболочек будет нуждаться в существенных коррективах, о чем будет сказано ниже.

Перемещения, деформации и напряжения в слоях

Геометрическая гипотеза о деформированных нормалях, данная для всего пакета оболочки в целом, освобождает нас от необходимости рассмотрения перемещений и деформаций каждого слоя в отдельности.

Имея деформации удлинения и сдвига, а также параметры, характеризующие изменение кривизны и кручения координатной поверхности оболочки, можно определить деформации и перемещения любого слоя оболочки.

Пользуясь основной гипотезой, можно записать следующие равенства:

, , , (2.8)

или для отдельного слоя оболочки

, , , (2.9)

которые равномерны допущению о том, что деформация оболочки в целом происходит без деформаций сдвига , в плоскости нормальных сечений и без деформаций удлинения по толщине оболочки.

В связи с этим, имеем

, , (2.10)

т.е. нормальное перемещение точки какого-либо слоя оболочки не зависит от координаты . Нормальные перемещения всех точек нормального элемента имеют постоянное значение и равняются нормальному перемещению той точки координатной поверхности, которая образуется при перемещении данной нормали с координатной поверхностью оболочки.

Для тангенциальных перемещений -го слоя оболочки имеем

; (2.11)

, (2.12)

где , тангенциальные перемещения соответствующей точки координатной поверхности оболочки.

Таким образом, формулами (2.10 – 2.12) устанавливается геометрическая модель деформированного состояния оболочки, а деформации имеют вид

; (2.13)

; (2.14)

, (2.15)

где – относительные деформации удлинений и сдвига координатной поверхностью оболочки;

– изменения кривизны координатной поверхностью оболочки,

– деформации сдвига, – относительная деформация кручения).

Пользуясь основной гипотезой, пренебрегая напряжениями из обобщенного закона Гука, получим

; (2.16)

; (2.17)

, (2.18)

где для коэффициентов имеем

; ;

; ; (2.19)

; ;

. (2.20)