Линейная и нелинейная регрессионная модель

Рассмотрим парную линейную регрессионную модель взаимосвязи двух переменных, для которой функция регрессии φ(х) линейна. Обозначим через y_x условную среднюю признака Y в генеральной совокупности при фиксированном значении x переменной Х. Тогда уравнение регрессии будет иметь вид:

y_x = ax + b, где a – коэффициент регрессии (показатель наклона линии линейной регрессии). Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при изменении переменной Х на одну единицу. С помощью метода наименьших квадратов получают формулы, по которым можно вычислять параметры линейной регрессии (Табл. 2):

Таблица 2. Формулы для расчета параметров линейной регрессии

Свободный член b	Коэффициент регрессии a	Коэффициент детерминации

Направление связи между переменными определяется на основании знака коэффициента регрессии. Если знак при коэффициенте регрессии положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. Если знак при коэффициенте регрессии отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).

Для анализа общего качества уравнения регрессии используют коэффициент детерминации R², называемый также квадратом коэффициента множественной корреляции. Коэффициент детерминации (мера определенности) всегда находится в пределах интервала [0;1]. Если значение R² близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значение R² близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.

Коэффициент детерминации R² показывает, на сколько процентов найденная функция регрессии описывает связь между исходными значениями Y и Х. На рис. 3 показана – объясненная регрессионной моделью вариация и - общая вариация. Соответственно, величина показывает, сколько процентов вариации параметра Y обусловлены факторами, не включенными в регрессионную модель.

При высоком значении коэффициента детерминации 75%) можно делать прогноз для конкретного значения в пределах диапазона исходных данных. При прогнозах значений, не входящих в диапазон исходных данных, справедливость полученной модели гарантировать нельзя. Это объясняется тем, что может проявиться влияние новых факторов, которые модель не учитывает.

Оценка значимости уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера.

Нелинейные уравнения регрессии предварительно приводят к линейному виду с помощью преобразования переменных, а затем к преобразованным переменным применяют метод наименьших квадратов.

Вывод