Динамика системы гонщик-велосипед

Кинетостатический анализ проводится без учёта упругих свойств звеньев и, как правило, приводит к результатам, не в полной мере соответствующим наблюдаемым в действительности. Поэтому практический интерес представляет изучение влияния упругих свойств отдельных элементов и всей системы гонщик-велосипед на её динамические характеристики. Из всего многообразия возможных динамических моделей рассмотрим модель его звеньев. При этом ограничимся только изучением влияния крутильных и изгибных деформаций, а также деформаций растяжения элементов привода.

Для такой динамической модели введём обозначения: J0, K01 – момент инерции периферийной части однотрубки, соприкасающейся с дорожным покрытием, и её приведённая крутильная жёсткость; J1, k12 – суммарный момент инерции однотрубки, обода и спицевого набора и их приведённая крутильная жёсткость; J2 – момент инерции втулки колеса и системы ведомых звёздочек; k23 – крутильная жёсткость цепной передачи; J3 – момент инерции системы ведущих звёздочек, кривошипов, педалей и части нижних конечностей гонщика; Mд – движущий момент; ф0, ф1, ф2, ф3 – угловые координаты вращения элементов модели вокруг своих осей.

На основании уравнения (?! Омг) Лагранжа второго рода, кинетической и потенциальной энергий рассматриваемой системы получены уравнения движения:

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Величины F0=F1 и r0=r1 соответствуют величинам, найденным при кинетостатических исследованиях. Учитывая это, а также пренебрегая величиной J0 вследствие её малости, вышеприведённую систему можно упростить:

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Рассматривая упрощённый вариант движения велосипеда по горизонтальному участку (“a”=0) и случай одинаковых колёс (Y=0), а также полагая, что Sy=0, найдём

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Где

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

В предыдущем равенстве x1=r1ф1 и, следовательно, уже упрощённая система уравнений запишется в виде

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Обозначим закон угловых перемещений кривошипа через ф3(t), тогда получим

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Где q3(t) – малые отклонения колебательного типа. Используя это уравнение, произведём линеаризацию функции положения цепной передачи П (ф3) и её производной П’ (ф3)

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Функции ф1(t) и ф2(t) также представили как сумму их координат ф1’(t) и ф2’(t) и соответствующих отклонений q1(t) и q2(t):

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

В первом приближении силу сопротивления набегающего воздушного потока Sx можно считать постоянной и соответствующей средней скорости движения x’ср=ф3ir, где I – П’ (ф3) – передаточное отношение цепного привода. Тогда правая часть первого уравнения системы тоже будет постоянной и равной А3:

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Движущий момент Мд будем считать функцией частоты вращения кривошипа p3

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

В результате система уравнений преобразуется к виду

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Где

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Кроме того, в системе уравнений опущены слагаемые второго порядка малости относительно величин q2 и q3.

Решение системы линейных, неоднородных, с переменными коэффициентами уравнений найдём с помощью метода разложения по формам собственных колебаний, для чего рассмотрим систему с нулевыми правыми частями и определим переменные собственные частоты w2 и нестационарные коэффициенты форм колебаний “a”jr (j =1, 2, 3). Решение однородной системы соответствующее частоте Wr, будем искать в виде

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Где т – параметр, соответствующий времени, причём Фr(т)=Wr(т)

При этих условиях из уравнения вида решения однородной системы можно получить

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Для существования отличных от нуля значений “a”jr необходимо выполнить равенство

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Раскрыв частотный определитель, получим алгебраическое уравнение третьей степени относительно Wr2(t), из которого могут быть найдены три группы значений собственных частот: W1(t), W2(t) и W3(t), причём W1(t)=0. Отметим, что при П’(ф3)=const=I из системы уравнений, приведённой выше определяются три действительных значения собственных частот W1, W2, W3.

Для нахождения коэффициентов форм собственных колебаний положим a1r=1 и решим следующую систему

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Преобразую систему уравнений найдём

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Из системы уравнений видно, что коэффициенты форм собственных колебаний “a”jr переменны, так как они зависят от значений П’(ф3) и W1(t).

В этом случае решение системы уравнений будем искать в виде

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

После соответствующих подстановок найдём:

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Из условия ортогональности форм собственных колебаний следует, что при S, не равной r, где s, r – номера форм колебаний, получим

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

На основании уравнений с учётом формулы выше имеем

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Где f1(t), f2(t), f3(t) – правые части системы уравнений.

Рассмотрим реализацию уравнения на основе приближенных методов решения. Если выполняется условие

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

То удобно воспользоваться приближенным методом, в соответствии с которым частные решения уравнения

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Записываются в виде:

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Общее решение однородного уравнения представляется в следующей форме:

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

На основе частных решений общее решение неоднородного уравнения может быть простроено посредством метода вариации производных и постоянных:

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Где

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Определив функцию Tr и воспользовавшись всеми найденными ранее соотношениями, найдём:

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Три последних уравнения определяют перемещения, скорость и ускорения системы гонщик-велосипед в поступательном движении.

Анализ рассмотренной динамической модели показывает, что данная задача достаточно сложна и не допускает решения в конечном общем виде. Поэтому для исследования кинематики динамической модели необходимо ввести в уравнения движения конкретные значения всех параметров в виде функций Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Рассмотрим динамическую задачу в несколько упрощённой постановке, считая, что П’(ф3)=i=const. Предварительно установим закон изменения ф3(t), лоя чего приведём все моменты инерции и внешние силы к оси ведущей звёздочки:

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Тогда уравнение движения ведущей звёздочки запишется в виде

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Для того, чтобы движение системы было установившимся, необходимо выполнение равенства М0+Ai=0. В противном случае будут происходить или ускорение системы (при M0+Ai>0), или её торможение (при M0+Ai<0). В итоге получим нелинейное дифференциальное уравнение

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Для решения уравнения примем ф3=p3t+дельта(ф3), где p3 – средняя частота вращения кривошипа; дельта(ф3) – малые периодические отклонения угловых перемещений ф3 в функции p3t. С учётом принятых допущений получим

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

После соответствующих подстановок получим

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Так как значение дельта(ф3) определялось из кинетостатических представлений, то следует сделать вывод, что даже без учёта упругих свойств привода возможны колебания кинематических характеристик с высшими гармониками.

Обозначим коэффициенты уравнения через А1 и В1. При постоянных параметрах системы Wr(t)=Wr(0) частные решения представляются в виде yr1=sin(Wrt) и yr2=cos(Wrt). С учётом постоянства П’(ф3) зависимости f1(t), f2(t) и f(t) будут иметь вид

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

При полученных выражениях для возмущающих факторов интегралы, входящие в ранее приведённое уравнение, могут быть найдены в конечном виде и функции времени опишутся следующим уравнением”

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Где

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Поскольку входящие в предыдущее уравнение величины известны, задачу определения параметров движения системы гонщик-велосипед с учётом упругих свойств привода можно считать решённой. Из уравнения видно, что колебательный процесс имеет составляющие с собственными частотам Wr и три гармоники от внешнего возмущения со средней частотой p3. Для устойчивой работы необходимо обеспечить выполнение условия, определяющего возможные значения низшей собственной частоты колебаний W1, т.е. W1>>3p3.

Необходимо отметить, что основным фактором, влияющим на амплитудные значения функции Tr, а следовательно, и на интенсивность колебательных процессов, является величина дельта(M) переменной части движущего момента. Так, при дельта(М)=0 величины R,S и М равны нулю и колебания с частотой p3 или с частотами, кратными ей, отсутствуют. Остаются только колебания с собственной частотой, которые могут возбуждаться только случайными причинами, но, как известно, эти колебания достаточно быстро затухают, и при установившемся движении их можно не учитывать.

При проектировании и сравнительной оценке конструкции гоночных велосипедов и их приводных систем важнейшими характеристиками являются частотный спектр и чувствительность собственных частот к изменению параметров отдельных элементов системы, в частности приводной передачи. Проанализируем степень влияния жёсткостей k12 (крутильной жёсткости цепного привода) на значения собственных частот W2 и W3 при W1=0.

Исходные значения параметров, необходимых для расчёта, были определены экспериментально на стандартном цепном приводе. Так, жёсткостные характеристики цепного привода были определены согласно схеме ниже

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

Для этого ведомую звёздочку 1 жёстко фиксировали в специальном приспособлении. Цепь 2 имела возможность свободного провисания (положение ‘2) в меру общего натяжения цепи при настройке системы привода. Ведущее колесо 3 при положении к педали 4 усилия Q разворачивалось по часовой стрелке. Приведённая деформация x фиксировалась индикатором 5. В проведённом эксперименте приведённая жёсткость k23 складывалась из продольной жёсткости цепи, жёсткости провисающей цепи на участке AB, изгибной и крутильной жёсткости кривошипа и изгибной жёсткости оси педали.

Номинальные значения экспериментально определённых жёсткостей: k12=1770 Н/м; k23=202 Н/м. Изменение каждой из жёсткостей рассматривалось в диапазоне 0,1kij<=kij<=10kij, где через kij обозначены их номинальные значения. Моменты инерции элементов рассчитываемой модели были приняты: J1=0,72кг*м2 =z1/z2=48/14=3.43

Динамика системы гонщик-велосипед - student2.ru

На рисунке выше показаны рассчитанные зависимости W2 и W3 от k12. Как видно, изменение жёсткости k12 от 177 до 17700 Н/м вызывает увеличение собственной частоты W2 только в начале диапазона, а затем, начиная асимптотически стремиться к значению W2=200с-1. Это свидетельствует о том, что существующие значения жёсткости k12 достаточны и, например, применение более жёстких по параметрам крутильной жёсткости дисковых колёс не увеличивает значение собственной частоты W2. В то же время очевидно сильное влияние величины k12 на значение высшей собственной частоты W3. Последняя, однако, мало влияет на динамическую характеристику привода велосипеда.

На второй части рисунка дана аналогичная зависимость частот W2 и W3 от жёсткости k23, изменяющейся в диапазоне 20-2020 Н/м. Из графиков видно, что значения собственной частоты W2 более чувствительны к изменению жёсткости k23, чем значения W3. Вместе с тем изменение жёсткости k23 вблизи её номинальных значений не позволяет существенно изменить низшую собственную частоту.

В связи с изложенным при необходимости увеличения низшей собственной частоты W2 целесообразно одновременно увеличение жёсткостей k12 и k23. Так, при увеличении каждой из них в 1.5 раза по сравнению с номинальными значениями собственные частоты становятся равными w2=230c-1; W3=660c-1.

Использовалась литература:

Любовицкий В.П. – «Гоночные Велосипеды».

Наши рекомендации