Дробный факторный эксперимент

Число опытов в полном факторном эксперименте быстро растет с увеличением размерности факторного пространства. При боль­ших К матрицы планирования эксперимента оказываются прак­тически неприемлемыми. При этом из множества полных фактор­ных экспериментов 2^к может быть отобрана некоторая часть, представляющая дробный факторный эксперимент, содержащий подходящее число опытов.

Вернемся еще раз к модели (2). Если есть основание считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс можно описать линейной моделью, то достаточно провести три опыта и на их ос­нове определить три коэффициента: b₀, b_], b₂. Остается один сво­бодный опыт. Его можно употребить для сокращения числа опы­тов. При линейном приближении b₁₂ к нулюможно использовать столбец х₁х₂ еще для одного нового фактора х₃. По результатам опытов (см. табл. 2) можно построить линейную модель уже для трех факторов

Коэффициенты этой модели вновь рассчитываются по известной формуле (1). Наиболее важное отличие приведенного метода пла­нирования от полного факторного эксперимента заключается в сле­дующем. Из матрицы планирования видно, что величина в точ­ности совпадает с величиной b₁₂ (знаки столбцов х₁х₂ и х₃ одина­ковы). Если в дополнение к столбцам, указанным в табл. 2, по­строить столбцы х₁х₃ и x₂x₃, то они в точности совпадут соответ­ственно со столбцами х₂ и x₁ и, следовательно, коэффициенты b₁₃ и b₂₃ совпадают соответственно с коэффициентами b₂ и b₁, т.е.

где β₁, β₂, β₃ – истинные значения коэффициентов;

β₂₃, β₁₃, β₁₂ – истинные значения парных взаимодействий.

Следовательно, вместо восьми опытов для изучения трех фак­торов можно поставить четыре опыта! Число экспериментов со­кращается вдвое. При этом мы воспользовались только половиной полного факторного эксперимента 2³ или полурепликой.

В дробном факторном эксперименте линейные эффекты сме­шаны с эффектами парных взаимодействий, что свидетельствует о потере информации (если сравнить с полным факторным экспе­риментом). Это «естественная плата» за сокращение числа опытов. Но поскольку принята модель линейной и взаимодействие пренеб­режимо малым, то точность расчета будет достаточной.

Поиск оптимальных условий

Задача оптимизации ставится таким образом: необходимо оп­ределить экспериментально координаты экспериментальной точки (x₁^opt, x₂^opt, ..., x_k^opt). Кратчайший путь их нахождения — это движение в направлении градиента

где – единичные векторы в направлении координатных осей факторного пространства.

Из уравнения видно, что частная производная линейной функ­ции по каждой переменной x_i равна соответствующему коэффи­циенту:

т. е.

Следовательно, чтобы осуществить движение по градиенту, значения факторов по каждой из осей i, j, ..., k необходимо изменить пропорционально величинам коэффициентов b₁, b₂, ..., b_k с уче­том их знака.

Бокс и Уилсон [1] предложили шаговый метод движения в на­правлении градиента: па основе серии опытов находится локаль­ное описание поверхности отклика в некоторой исходной области с помощью модели линейного вида. Далее определяют направле­ние градиента по уравнению (3). В этом направлении планируют «мысленные» опыты. Серия «мысленных» опытов рассчитывается последовательным прибавлением к основным уровням значимых факторов факторных величин, пропорциональных величинам коэффициентов регрессии с учетом их знаков. Вначале определяют произведения коэффициентов на соответствующие интервалы варьирования , по каждому фактору. Потом находят базо­вый фактор, для которого произведение оказалось наибольшим по абсолютной величине, и для него вычисляют «единичный шаг» . После этого рассчитывают «единичные шаги» для всех остальных факторов

и округляют расчетные значения. Полученные таким образом «ша­ги» последовательно прибавляют (в зависимости от знака b_j и от того, что ищут — максимум или минимум) к основному уровню каждого фактора или вычитают из него. Незначимые факторы стабилизируют на любом уровне в интервале ±I. Обычно рас­считываются 5—10 «мысленных» опытов. Реализация «мысленных» опытов начинается с опыта, условия которого выходят за область эксперимента хотя бы по одному из факторов. Из серии рекомен­дуется проводить 2—3 опыта. По оценке их результатов прини­мают решения о прекращении экспериментов или о дальнейшем проведении их.

Если одного линейного приближения недостаточно, то ставится новая серия опытов с центром в точке, которая соответствует наи­большему значению у, и находится новое направление движения но поверхности отклика. Такой шаговый процесс продолжается до достижения экстремума.